Onder arbeid wordt in de natuurkunde verstaan: het product van de kracht die werkt in de bewegingsrichting van een bewegend voorwerp en de lengte van de afgelegde weg. Als die kracht voortdurend verandert, bereken je de arbeid met behulp van een integraal.
Neem bijvoorbeeld een balletje aan een elastiek. Als je het wegschiet, zal de spankracht van het elastiek afhangen van de afgelegde weg $x$. In dat geval is de kracht die op het balletje wordt uitgeoefend een functie $F(x)$. De arbeid $W$ bereken je dan door de arbeid op deelintervallen van de afgelegde weg op te tellen:

$W={\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F(x_k)\cdot \Delta x}$

Je ziet dat je ook hier met Riemannsommen kunt werken.
Als het aantal deelintervallen oneindig groot wordt (en dus $\text{∆}x\to 0$) wordt de arbeid een integraal:

$W={\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}F(x)\text{d}x}$

Hang je bijvoorbeeld een gewicht aan een veer, dan werkt op dat gewicht een veerkracht die volgens de wet van Hooke recht evenredig is met de uitwijking $x$ uit de ruststand: $F(x)=C\cdot x$.
Als $u$ de uiteindelijke afstand is die het gewicht heeft afgelegd dan is de door de veerkracht verrichte arbeid:

$W={\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}F(x)\text{d}x}={\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}(C\cdot x)\text{d}x}={\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}(C\cdot x)\text{d}x}=\frac{1}{2}C{u}^2$.

Aan een veer hangt men een massa van $1$ kg. Na enige tijd hangt de veer weer stil. Hij is dan $10$ cm uitgetrokken. In de onderste stand werken er twee krachten op de massa: de zwaartekracht en de veerkracht. De zwaartekracht is bij benadering gelijk aan $m\cdot g$. De veerkracht is recht evenredig met de uitwijking.

Het zwaartepunt van een object is het punt ten opzichte waarvan de massa van dat object in evenwicht is. Het object gedraagt zich alsof alle massa zich als één gewicht in het zwaartepunt bevindt.

Stel dat je het zwaartepunt van het gekleurde vlakdeel hiernaast wilt berekenen. Dit zwaartepunt noem je $Z(x_Z,y_Z)$. Je gaat er van uit dat de massa van het vlakdeel homogeen is verdeeld, dus recht evenredig is met de oppervlakte ervan. Het gewicht is daarom $\underset{4}{\overset{8}{\int }}c\cdot f(x)\text{d}x$.

Kijk eerst in de $x$-richting. Je kunt dan het vlakdeel opdelen in allemaal kleine massa's. Bij elke massa hoort in de $x$-richting een moment ten opzicht van (bijvoorbeeld) de oorsprong $O$ van het assenstelsel van $x_i\cdot G_i$ (moment is gewicht maal arm).
Tel je al die momenten (in de $x$-richting) op dan krijg je $\underset{4}{\overset{8}{\int }}x\cdot c\cdot f(x)\text{d}x$.
Dit is gelijk aan het moment van het totale gewicht in de zwaartepunt, dus: $x_Z\cdot \underset{4}{\overset{8}{\int }}c\cdot f(x)\text{d}x=\underset{4}{\overset{8}{\int }}x\cdot c\cdot f(x)\text{d}x$.
Door beide integralen te berekenen, bereken je de $x$-waarde van het snijpunt. In de $y$-richting kun je een vergelijkbare redenering houden. Die wordt wel iets ingewikkelder omdat je met de inverse van de functie moet werken...

Ga er van uit dat het vlakdeel wordt begrensd door de $x$-as en een parabool met top $(6,4)$ die door $(4,0)$ en $(8,0)$ gaat.

Een auto die met een snelheid van $20$ m/s rijdt, trekt $5$ seconden op met een versnelling van $2$ m/s². Na die $5$ seconden is de snelheid van de auto $30$ m/s.