Integraalrekening

Opgave 13Twee halve parabolen

Twee halve parabolen

Gegeven zijn de functies $f (x) = x^{2}$ en $g (x) = \sqrt{x}$ , beide met domein $[0, \to 〉$ . De lijn $x = p$ , met $0 < p < 1$ , snijdt de grafiek van $f$ in $A$ en de grafiek van $g$ in $B$ .

a

Bereken de exacte waarde van $p$ waarvoor de lengte van het lijnstuk $A B$ maximaal is.

In de figuur zijn de grafieken van $f$ en $g$ en ook de lijn $y = 6 - x$ getekend. Het gebied ingesloten door de grafiek van $f$ , de grafiek van $g$ en de lijn $y = 6 - x$ , is in de figuur gekleurd.

b

Bereken algebraïsch de exacte oppervlakte van dit gebied.

(bron: examen wiskunde B vwo 2004, tweede tijdvak)

Opgave 14Zwaartepunt

Zwaartepunt

De hoekpunten van driehoek $O A B$ zijn $O (0, 0)$ , $A (3, 0)$ en $B (0, 3)$ .

a

Toon met behulp van een integraal aan dat het zwaartepunt van driehoek $O A B$ het punt $(1, 1)$ is.

Het vlakdeel $O A P Q B$ wordt begrensd door de $x$ -as, de $y$ -as, de lijn $x = 3$ , de lijn $y = 3$ en de hyperbool $y = 3 / x$ .

b

Bereken de $x$ -coördinaat van het zwaartepunt van dit vlakdeel in twee decimalen nauwkeurig.

(bron: examen wiskunde B vwo 2001, tweede tijdvak, aangepast)

Opgave 15Gebroken functie

Gebroken functie

Gegeven is de functie $f (x) = x + \frac{4}{x}$ .

a

Bereken langs algebraïsche weg de coördinaten van de toppen van de grafiek van $f$ .

$V$ is het gebied dat wordt ingesloten door de lijn $y = 5$ en de grafiek van $f$ .

b

Bereken de omtrek van $V$ in twee decimalen nauwkeurig.

(bron: examen wiskunde B vwo 2003, tweede tijdvak, aangepast)

Opgave 16Onafhankelijk van n

Onafhankelijk van <i>n</i>

De grafieken van de functies $y = \frac{1}{2} x^{2}$ en $y = x$ sluiten een gebied $G$ in. Door dit gebied $G$ te wentelen om de $x$ -as ontstaat een omwentelingslichaam.

a

Bereken de exacte waarde van de inhoud van dit omwentelingslichaam.

Voor `n = 1, 2, 3, ...` bekijken we het vierkant `OQ_nP_nR_n` , waarvan twee zijden langs de coördinaatassen vallen en waarvan het punt `P_n(n,n)` een hoekpunt is. De grafiek van de functie `y = 1/n x^2` gaat door `O` en door `P_n` . De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van `y = 1/n x^2` in het punt `P_n` is onafhankelijk van `n` .

b

Toon dit aan.

De grafiek van `y = 1/n x^2` verdeelt het vierkant `OQ_nP_nR_n` in twee stukken `V` en `W` .
De verhouding van de oppervlakten van `V` en `W` is onafhankelijk van `n` .

c

Toon dit aan.

(bron: examen wiskunde B vwo 2005, eerste tijdvak, aangepast)

Examenopgaven