Integraalrekening

Opgave 1

Gegeven is de functie `f(x) = text(-)0,5x + 4` op het interval `[text(-)2, 2]` .

a

Verdeel het interval `[text(-)2, 2]` in vier gelijke deelintervallen, en bereken de onder- en de bovensom bij deze verdeling.

b

Bereken het verschil tussen onder- en bovensom als je het interval in acht gelijke deelintervallen verdeelt.

Opgave 2

Bepaal de functie `F` waarvoor geldt:

a

`F'(x) = x sqrt(x)` met `F(4) = 0` .

b

`F'(x) = 1/(sqrt(1 + 4x))` met `F(2) = 0` .

c

`F'(x) = 1/(x^2) + 1/((3 - 2x)^2)` met `F(2) = 0` .

Opgave 3

Bepaal de volgende onbepaalde integralen:

a

`int x^2 sqrt(2x) text(d)x`

b

`int (x^2 - 4)^2 text(d)x`

c

`int x sqrt(2 + x^2) text(d)x`

Opgave 4

Bereken het exacte antwoord van deze bepaalde integralen en controleer je antwoorden met de rekenmachine:

a

`int_1^8 7 root[3](x) text(d)x`

b

`int_0^2 2/((1 + 2x)^2) text(d)x`

c

`int_1^4 3/(sqrt(x)) - 5 sqrt(x) text(d)x`

Opgave 5

Gegeven is de functie `f(x) = 1/2 x^2 - 3x + 4` .

a

Bereken: `int_0^6 f(x) text(d)x` .

b

Bepaal de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van `f` en de `x` -as op het interval `[0, 6]` .

c

Waarom heb je bij a en b niet hetzelfde antwoord gekregen? Verklaar het verschil.

d

Bereken de lengte van de parabool tussen zijn twee snijpunten met de assen in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 6

Gegeven is de functie `f(x) = sqrt(3 - x)` .
Er is een getal `a` zodat de oppervlakte van het gebied dat ingesloten wordt door de grafiek van `f` en de `x` -as op het interval `[a, 3]` gelijk is aan `18` .

a

Bereken `a` .

Er is ook een getal `b` zodat de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van `f` en de `x` -as op het interval `[0, b]` even groot is als de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van `f` en de `x` -as op het interval `[b, 3]` .

b

Benader `b` in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 7

Als je de grafiek van de functie $f (x) = \frac{1}{x}$ op het interval $[1, p]$ wentelt om de $x$ -as dan ontstaat een figuur met de vorm van een soort toeter.

a

Laat zien dat de inhoud van deze toeter gelijk is aan: $I = π \cdot (1 - \frac{1}{p})$ .

Als $p$ oneindig groot wordt dan ontstaat een oneindig lange toeter. Toch is de inhoud van deze toeter niet oneindig groot.

b

Bepaal de inhoud van deze oneindige toeter.

Opgave 8

Gegeven is de functie `f` met `f(x) = x^3` .
Door de grafiek op `[0, p]` om de `x` -as te wentelen ontstaat een omwentelingslichaam `a` .
Door de grafiek op `[0, p]` om de `y` -as te wentelen ontstaat een omwentelingslichaam `b` .
Beide omwentelingslichamen hebben hetzelfde volume.

Bereken `p` .

Opgave 9

De punten `P(x, y)` die voldoen aan de vergelijking `x^2 + 4y^2 = 16` liggen op een ellips.

a

Met welke twee functievoorschriften kun je deze ellips beschrijven?

b

Bereken de oppervlakte van deze ellips in twee decimalen nauwkeurig.

c

Bereken de omtrek van deze ellips in twee decimalen nauwkeurig.

Testen