Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies > Het getal e

123456Het getal e

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Y2 is een benadering van de helling op een heel klein interval met beginwaarde $x$ en daarom een benadering van de hellingwaarde voor die waarde van $x$ .

Beide grafieken hebben dezelfde vorm.

De grafiek van Y3 is een horizontale lijn, dus deze functie heeft steeds dezelfde uitkomst. Kennelijk is Y1 recht evenredig met Y2.

Y2 = c ⋅ Y1. Dat geldt ook als het gerondtal een ander getal is.

Nee.

Opgave 1

Doen.

Je vindt $c ~~ 0,92$ .

Nu vind je achtereenvolgens $c ~~ 0,99$ en $c ~~ 1,03$ .

Ja, dat lijkt er inderdaad te zijn. Dit getal is ongeveer $2,72$ (als je voor niet meer dan twee decimalen gaat).

Opgave 2

Het mooiste is het maken van een applet in GeoGebra waarin je $h$ steeds dichter naar $0$ laat komen bij verschillende waarden van $g$ (en $x$ ?).

Je kunt in de formule bij a een factor $g^x$ buiten haakjes halen.

$(g^(h) - 1)/(h)$ hangt niet van $x$ af en zal dus voor elke $x$ dezelfde waarde hebben.

Als $h rarr 0$ (neem bijvoorbeeld $h = 0,0000001$ ) dan moet $(text(e)^(h) - 1)/(h) rarr 1$ . Dit lukt steeds beter als je voor $text(e)$ de juiste waarde invult: $text(e) ~~ 2,7218$ .

Opgave 3

Als Y1=e^(X), of iets dergelijks. Horizontale asymptoot $y = 0$ , met bijbehorende limiet $lim_(x rarr text(-)oo) text(e)^x = 0$ .

Dat is de $y$ -waarde bij $x = 1$ .

$x ~~ 2,30$ (los $f(x) = 10$ op met de GR door de twee grafieken te snijden).

Doen.

Je vindt $x = ln(20) ~~ 2,996$ .

Gebruik ook de grafiek. Je vindt $text(-)3,912 ≤ x ≤ 3,912$ .

Het hellingsgetal in dit punt is $text(e)$ en de vergelijking van de raaklijn is $y = text(e)x - text(e)$ .

Opgave 4

$f'(3) = text(e)^3$ en $f(3) = text(e)^3$ dus $y = text(e)^3 x - text(e)^3$ .

Doen.

Je vindt $text(-)20 ≤ x ≤ ln(20)$ .

Opgave 5

$2^x = 1/(8 sqrt(2)) = 2^(-3,5)$ dus $x = -3,5$ .

$text(e)^x = 1/(text(e)^3 sqrt(text(e))) = text(e)^(-3,5)$ dus $x = -3,5$ .

$5text(e)^x = 125$ geeft $text(e)^x = 25$ dus $x = ln(25) ~~ 3,219$ .

$8text(e)^x = (2text(e) sqrt(text(e)))^3 = 8text(e)^(4,5)$ geeft $x = 4,5$ .

Opgave 6

Bij $y = 1$ hoort $x = text(e)$ .

Het domein van $f$ kunt is het bereik van $g(x) = text(e)^x$ en het bereik van $f$ is het domein van $g$ .

$x = text(e)^5 ~~ 148,4$ .

$0,007 ≤ x ≤ 148,413$ .

Opgave 7

$f'(x) = text(-)2 * text(e)^x$

$f'(x) = 3text(e)^(3x)$

$f'(x) = text(-)text(e)^(3 - x)$

$f'(x) = x text(e)^x + text(e)^x$

$f'(x) = (text(e)^x - xtext(e)^x)/((text(e)^x)^2) = (1 - x)/(text(e)^x)$

$f'(x) = 2xtext(e)^(x^2)$

Opgave 8

$2x = ln(0,05)$ geeft $x = 1/2 ln(0,05) ~~ 1,50$ .

$x = text(e)^(2,06) ~~ 7,85$ .

$4x = ln(10/3)$ geeft $x = 1/4 ln(10/3) ~~ 0,30$ .

Opgave 9

$y = ln(2 text(e)^x) = ln(2) + ln(text(e)^x) = ln(2) + x$ .

$text(e)^(2y) = 0,5x^3$ geeft $2y = ln(0,5) + 3 ln(x)$ dus $y = 0,5 ln(0,5) + 1,5 ln(x)$ .

$2 ln(y) = x - 3$ geeft $ln(y) = 0,5x - 1,5$ dus $y = text(e)^(0,5x - 1,5)$ .

$text(e)^(0,5x) = y + 3$ geeft $y = text(e)^(0,5x) - 3$ .

$ln(y) = 1 - 2 ln(x) = ln(text(e)) - ln(x^2) = ln((text(e))/(x^2))$ geeft $y = (text(e))/(x^2)$ .

$ln(y) + 2 = 1/(ln(x))$ geeft $ln(y) = 1/(ln(x)) - 2$ en dus $y = text(e)^(1/(ln(x)) - 2)$ .

$text(e)^(0,5y) = 4x$ geeft $0,5y = ln(4x)$ en dus $y = 2 ln(4x)$ .

$text(e)^(text(-)y) = 4 text(e)^x$ geeft $text(-)y = ln(4 text(e)^x) = ln(4) + x$ en dus $y = text(-)ln(4) - x$ .

Opgave 10

De e-macht is altijd groter dan nul. De asymptoot is $y = text(-)2$ met bijbehorende limiet $lim_(x rarr oo) 4text(e)^(text(-)0,5x) - 2 = 0 - 2 = text(-)2$ .

$4text(e)^(text(-)0,5x) - 2 = 0$ geeft $text(e)^(text(-)0,5x) = 0,5$ en dus $x = text(-)2 ln(0,5) = 2 ln(2)$ .
Het nulpunt is $(2 ln(2), 0)$ .

$f'(x) = text(-)2text(e)^(text(-)0,5x)$ en dus $f'(2 ln(2)) = text(-)1$ .
De vergelijking van de raaklijn is $y = text(-)x + 2 ln(2)$ .

$4text(e)^(text(-)0,5x) - 2 = text(-)1$ geeft $text(e)^(text(-)0,5x) = 0,25$ en dus $x = text(-)2 ln(0,25) = ln(16)$ .
De grafiek geeft $x > ln(16)$ .

Opgave 11

De verticale asymptoot is $x = 0$ met bijbehorende limiet $lim_(x uparrow 0) 4 ln(text(-)0,5x) - 2 = text(-)oo - 2 = text(-)oo$ .

$text(D)_(f) = (:larr, 0:)$ en $text(B)_(f) = RR$ .

$4 ln(text(-)0,5x) - 2 = 0$ geeft $ln(text(-)0,5x) = 0,5$ en dus $text(-)0,5x = text(e)^(0,5)$ zodat $x = text(-)2sqrt(text(e))$ .
Het nulpunt is $(text(-)2 sqrt(text(e)),0)$ .

$4 ln(text(-)0,5x) - 2 = text(-)1$ geeft $ln(text(-)0,5x) = 0,25$ en dus $text(-)0,5x = text(e)^(0,25)$ zodat $x = text(-)2root[4](text(e))$ . De grafiek geeft $text(-)2 root[4](text(e)) < x < 0$ .

Opgave 12

$x = ln(3) ~~ 1,099$

$x = 3/(text(e)) ~~ 1,104$

$x = root[text(e)](3) ~~ 1,498$

$x = text(e)^3 ~~ 20,086$

$x = 10^3 = 1000$

$text(e)^(0,1x - 5) = 20$ geeft $0,1x - 5 = ln(2)$ en dus $x = 10 ln(2) + 50 ~~ 79,957$ .

$ln(0,1x - 5) = 20$ geeft $0,1x - 5 = text(e)^(20)$ en dus $x = 10 text(e)^20 + 50 ~~ 4,852 * 10^9$ .

Opgave 13

$text(e)^(3x - 6) = 1$ geeft $3x - 6 = ln(1) = 0$ en dus $x = 2$ .

$text(e)^(2x) = text(e)^(x - 6)$ geeft $2x = x - 6$ en dus $x = text(-)6$ .

$ln((2x)/(x - 6)) = 1$ geeft $(2x)/(x - 6) = text(e)$ en dan $2x = text(e)x - 6text(e)$ zodat $x = (6text(e))/(text(e) - 2)$ .

$ln(2x) = 0 vv ln(x - 6) = 0$ geeft $x = 0,5 vv x = 7$ .

$text(e)^(x ln(2)) = text(e)^(x + 2)$ geeft $x ln(2) = x + 2$ en dus $x = 2/(text(-)1 + ln(2))$ .

$ln(2x) = text(e)$ geeft $2x = text(e)^(text(e))$ en dus $x = 0,5text(e)^(text(e))$ .

$text(e)^(2x) = 5text(e)^2$ geeft $2x = ln(5text(e)^2) = 2 ln(5)$ en dus $x = ln(5)$ .

$text(e)^(2x) - 2 = text(e)^x$ geeft $(text(e)^x)^2 - text(e)^x - 2 = 0$ en dus $text(e)^x = 2 vv text(e)^x = text(-)1$ zodat $x = ln(2)$ .

Opgave 14

$ln(N) = ln(t^2) - ln(text(e)^3)$ dus $N = (t^2)/(text(e)^3)$ .

$ln(N) = ln(t^2) - ln(10^3)$ dus $N = (t^2)/(1000)$ .

$2N = ln(t + 2)$ geeft $N = 0,5ln(t + 2)$ .

$2N = log(t + 2)$ geeft $N = 0,5log(t + 2)$ .

$N = text(e)^(2t - 3)$ .

$N = 0,5text(e)^t + 1,5$ .

Opgave 15

$(1/(text(e)))^x = (text(e)^(text(-)1))^x = text(e)^(text(-)x)$ .

$text(e)^(2 ln(x)) = text(e)^(ln(x^2)) = x^2$ .

$text(e)^(ln(x) + ln(2)) = text(e)^(ln(x)) * text(e)^(ln(2)) = x * 2 = 2x$ .

$text(e)^(2 - ln(x)) = text(e)^2 * text(e)^(ln(1/x)) = text(e)^2 * 1/x = (text(e)^2)/x$ .

Opgave 16

T stelt de temperatuur, Tomg de omgevingstemperatuur, Tverschil het temperatuursverschil met de omgeving, ∆t de stapgrootte van de tijdstoename, ∆T de bijbehorende temperatuurstoename voor. Hier is ∆T dan elke tijdstap ∆t recht evenredige (een constante maal) het temperatuursverschil met de omgeving.

$c = text(-)0,2$ en negatief omdat er sprake is van afkoeling (er gaat elke tijdstap iets van de temperatuur). Als je die constante in $text(-)0,15$ verandert, verloopt het afkoelingsproces langzamer.

Eigen antwoord.

$V(t) = T(t) - T(0) = b * g^t$ en $V'(t) = b * c_g * g^t$ en dus is $V'$ recht evenredig met $V$ .

Omdat $lim_(t rarr oo) b*g^t = 0$ .

Eigen antwoord.

Opgave 17

$T(0) = 80$ .

$lim_(t rarr oo) 20 + 60 * 0,8^t = 20 + 0 = 20$ , dus $20$ °C.

$c ~~ text(-)0,22$ .

$V(t) = T(t) - 20 = 60 * 0,8^t$ en $V'(t) = 60 * text(-)0,22 * 0,8^t$ en dus is $V'$ een veelvoud van $V$ .

$V'(t) < 0$ voor elke waarde van $t$ .

Opgave 18

Horizontale asymptoot $y = 8$ met bijbehorende limiet $lim_(x rarr text(-)oo) 8 - 4 text(e)^x = 8 - 0 = 8$ .

$8 - 4 text(e)^x = 0$ geeft $text(e)^x = 2$ en $x = ln(2)$ . Nulpunt $(ln(2),0)$ .

$f'(x) = text(-)4 text(e)^x$ geeft $f'(ln(2)) = text(-)8$ dus de raaklijn is $y = text(-)8x + 8ln(2)$ .

$8 - 4 text(e)^x = 2$ geeft $text(e)^x = 1,5$ en $x = ln(1,5)$ .
De grafiek geeft $x ≤ ln(1,5)$ .

Opgave 19

Verticale asymptoot $x = 0$ met bijbehorende limiet $lim_(x downarrow 0) 8 - 4 ln(x) = 8 + oo = oo$ .

$8 - 4 ln(x) = 0$ geeft $ln(x) = 2$ en $x = text(e)^(2)$ . Nulpunt $(text(e)^(2),0)$ .

$8 - 4 ln(x) = 2$ geeft $ln(x) = 1,5$ en $x = text(e)^(1,5)$ . De grafiek geeft $0 < x ≤ text(e)sqrt(text(e))$ .

Opgave 20

$text(e)^N = 0,4t + 2$ dus $N = ln(0,4t + 2)$ .

$ln(N) = 0,4t + 2$ dus $N = text(e)^(0,4t + 2)$ .

$N = text(e)^(0,01 ln(t) + 1,15) = text(e)^(1,25) * t^(0,01)$ .

Opgave 21

$2text(e)^(x - 2) = text(e)(4x)$ geeft $text(e)^(x - 2 + ln(2)) = text(e)^(4x)$ dus $3x = text(-)2 + ln(2)$ zodat $x = (text(-)2 + ln(2))/3$ .

$ln(x(x + 2)) = 1$ geeft $x^2 + 2x - text(e) = 0$ en dus $x = (-2 + sqrt(4 + 4text(e)))/2$ . (Alleen het positieve antwoord voldoet.)

Opgave 22

$f'(x) = text(e)^x - 6text(e)^(2x)$ .

$f'(x) = x^2 text(e)^(x) + 2x text(e)^x = (x^2 + 2x)text(e)^x$ .

verder | terug