`y_2` is een benadering van de helling op een heel klein interval met beginwaarde `x` en daarom een benadering van de hellingswaarde voor die waarde van `x` .
Beide grafieken hebben dezelfde vorm.
De grafiek van `y_3` is een horizontale lijn, dus deze functie heeft steeds dezelfde uitkomst. Kennelijk is `y_1` recht evenredig met `y_2` .
`y_2 = c*f(x)` . Dat geldt ook als het grondtal een ander getal is.
Nee, die hebben afgeleides die geen veelvoud van de functie zelf zijn.
Doen, gebruik de applet.
Je vindt `c ~~ 0,92` .
Nu vind je achtereenvolgens `c ~~ 0,99` en `c ~~ 1,03` .
Ja, dat lijkt er inderdaad te zijn. Dit getal is ongeveer `2,72` (als je voor niet meer dan twee decimalen gaat).
Het mooiste is het maken van een applet in GeoGebra waarin je `h` steeds dichter naar `0` laat komen bij verschillende waarden van `g` (en `x` ?).
Je kunt in de formule bij a een factor `g^x` buiten haakjes halen.
`(g^(h) - 1)/(h)` hangt niet van `x` af en zal dus voor elke `x` dezelfde waarde hebben.
Als `h rarr 0` (neem bijvoorbeeld `h = 0,0000001` ) dan moet `(text(e)^(h) - 1)/(h) rarr 1` . Dit lukt steeds beter als je voor `text(e)` de juiste waarde invult: `text(e) ~~ 2,7218` .
Als Y1=e^(X), of iets dergelijks. Horizontale asymptoot `y = 0` , met bijbehorende limiet `lim_(x rarr text(-)oo) text(e)^x = 0` .
Dat is de `y` -waarde bij `x = 1` .
`x ~~ 2,30` (los `f(x) = 10` op met de GR door de twee grafieken te snijden).
Doen.
Je vindt `x = ln(20) ~~ 2,996` .
Gebruik ook de grafiek. Je vindt `text(-)3,912 ≤ x ≤ 3,912` .
Het hellingsgetal in dit punt is `text(e)` en de vergelijking van de raaklijn is `y = text(e)x` .
`f'(3) = text(e)^3` en `f(3) = text(e)^3` dus `y = text(e)^3 x - 2text(e)^3` .
Ga bijvoorbeeld na dat
`ln(5) = 1,609...`
Plot ook zelf de grafiek en bepaal de snijpunten.
Je vindt `text(-)20 ≤ x ≤ ln(20)` .
`2^x = 1/(8 sqrt(2)) = 2^(text(-)3,5)` dus `x = text(-)3,5` .
`text(e)^x = 1/(text(e)^3 sqrt(text(e))) = text(e)^(text(-)3,5)` dus `x = text(-)3,5` .
`5text(e)^x = 125` geeft `text(e)^x = 25` dus `x = ln(25) ~~ 3,219` .
`8text(e)^x = (2text(e) sqrt(text(e)))^3 = 8text(e)^(4,5)` geeft `x = 4,5` .
Bij `y = 1` hoort `x = text(e)` .
Het domein van `f` kunt is het bereik van `g(x) = text(e)^x` en het bereik van `f` is het domein van `g` .
`x = text(e)^5 ~~ 148,4` .
`0,007 ≤ x ≤ 148,413` .
`f'(x) = text(-)2 * text(e)^x`
`f'(x) = 0`
levert geen
`x`
-waarden op.
Grafiek:
`text(B)_f = (: larr, 100:)`
.
`f'(x) = 3text(e)^(3x)`
`f'(x) = 0`
levert geen
`x`
-waarden op.
Grafiek:
`text(B)_f = (: 0, rarr :)`
`f'(x) = text(-)text(e)^(3 - x)`
`f'(x) = 0`
levert geen
`x`
-waarden op.
Grafiek:
`text(B)_f = (: 0, rarr :)`
`f'(x) = x text(e)^x + text(e)^x`
`f'(x) = 0`
levert op
`(x + 1)text(e)^x = 0`
en dus
`x = text(-)1`
.
Grafiek: minimum
`f(text(-)1) = text(-)1/(text(e))`
.
Dus:
`text(B)_f = [ text(-)1/(text(e)), rarr :)`
.
`f'(x) = (text(e)^x - xtext(e)^x)/((text(e)^x)^2) = (1 - x)/(text(e)^x)`
`f'(x) = 0`
levert op
`(1 - x)/(text(e)^x) = 0`
en dus
`x = 1`
.
Grafiek: maximum
`f(1) = 1/(text(e))`
.
Dus:
`text(B)_f = (: larr, 1/(text(e)) ]`
.
`f'(x) = 2xtext(e)^(x^2)`
`f'(x) = 0`
levert op
`2xtext(e)^(x^2) = 0`
en dus
`x = 0`
.
Grafiek: minimum
`f(0) = 1`
.
Dus:
`text(B)_f = [1, rarr :)`
.
`2x = ln(0,05)` geeft `x = 1/2 ln(0,05) ~~ text(-)1,50` .
`x = text(e)^(2,06) ~~ 7,85` .
`4x = ln(10/3)` geeft `x = 1/4 ln(10/3) ~~ 0,30` .
`y = ln(2 text(e)^x) = ln(2) + ln(text(e)^x) = ln(2) + x` .
`text(e)^(2y) = 0,5x^3` geeft `2y = ln(0,5) + 3 ln(x)` dus `y = 0,5 ln(0,5) + 1,5 ln(x)` .
`2 ln(y) = x - 3` geeft `ln(y) = 0,5x - 1,5` dus `y = text(e)^(0,5x - 1,5)` .
`text(e)^(0,5x) = y + 3` geeft `y = text(e)^(0,5x) - 3` .
`ln(y) = 1 - 2 ln(x) = ln(text(e)) - ln(x^2) = ln((text(e))/(x^2))` geeft `y = (text(e))/(x^2)` .
`ln(y) + 2 = 1/(ln(x))` geeft `ln(y) = 1/(ln(x)) - 2` en dus `y = text(e)^(1/(ln(x)) - 2)` .
`text(e)^(0,5y) = 4x` geeft `0,5y = ln(4x)` en dus `y = 2 ln(4x)` .
`text(e)^(text(-)y) = 4 text(e)^x` geeft `text(-)y = ln(4 text(e)^x) = ln(4) + x` en dus `y = text(-)ln(4) - x` .
De e-macht is altijd groter dan nul. De asymptoot is `y = text(-)2` met bijbehorende limiet `lim_(x rarr oo) 4text(e)^(text(-)0,5x) - 2 = 0 - 2 = text(-)2` .
`4text(e)^(text(-)0,5x) - 2 = 0`
geeft
`text(e)^(text(-)0,5x) = 0,5`
en dus
`x = text(-)2 ln(0,5) = 2 ln(2)`
.
Het nulpunt is
`(2 ln(2), 0)`
.
`f'(x) = text(-)2text(e)^(text(-)0,5x)`
en dus
`f'(2 ln(2)) = text(-)1`
.
De vergelijking van de raaklijn is
`y = text(-)x + 2 ln(2)`
.
`4text(e)^(text(-)0,5x) - 2 = text(-)1`
geeft
`text(e)^(text(-)0,5x) = 0,25`
en dus
`x = text(-)2 ln(0,25) = ln(16)`
.
De grafiek geeft
`x > ln(16)`
.
De verticale asymptoot is `x = 0` met bijbehorende limiet `lim_(x uparrow 0) 4 ln(text(-)0,5x) - 2 = text(-)oo - 2 = text(-)oo` .
`text(D)_(f) = (:larr, 0:)` en `text(B)_(f) = RR` .
`4 ln(text(-)0,5x) - 2 = 0`
geeft
`ln(text(-)0,5x) = 0,5`
en dus
`text(-)0,5x = text(e)^(0,5)`
zodat
`x = text(-)2sqrt(text(e))`
.
Het nulpunt is
`(text(-)2 sqrt(text(e)),0)`
.
`4 ln(text(-)0,5x) - 2 = text(-)1` geeft `ln(text(-)0,5x) = 0,25` en dus `text(-)0,5x = text(e)^(0,25)` zodat `x = text(-)2root[4](text(e))` . De grafiek geeft `text(-)2 root[4](text(e)) < x < 0` .
`x = ln(3) ~~ 1,099`
`x = 3/(text(e)) ~~ 1,104`
`x = root[text(e)](3) ~~ 1,498`
`x = text(e)^3 ~~ 20,086`
`x = 10^3 = 1000`
`text(e)^(0,1x - 5) = 20` geeft `0,1x - 5 = ln(20)` en dus `x = 10 ln(20) + 50 ~~ 79,957` .
`ln(0,1x - 5) = 20` geeft `0,1x - 5 = text(e)^(20)` en dus `x = 10 text(e)^20 + 50 ~~ 4,852 * 10^9` .
`text(e)^(3x - 6) = 1` geeft `3x - 6 = ln(1) = 0` en dus `x = 2` .
`text(e)^(2x) = text(e)^(x - 6)` geeft `2x = x - 6` en dus `x = text(-)6` .
`ln((2x)/(x - 6)) = 1` geeft `(2x)/(x - 6) = text(e)` en dan `2x = text(e)x - 6text(e)` zodat `x = (6text(e))/(text(e) - 2) ~~ 22,707` .
`ln(2x) = 0 vv ln(x - 6) = 0` geeft `x = 0,5 vv x = 7` .
`text(e)^(x ln(2)) = text(e)^(x + 2)` geeft `x ln(2) = x + 2` en dus `x = 2/(text(-)1 + ln(2)) ~~ text(-)6,518` .
`ln(2x) = text(e)` geeft `2x = text(e)^(text(e))` en dus `x = 0,5text(e)^(text(e)) ~~ 7,577` .
`text(e)^(2x) = 5text(e)^2` geeft `2x = ln(5text(e)^2) = ln(5) + 2ln(text(e)) = ln(5) + 2` en dus `x = 1/2 ln(5) + 1 ~~ 1,805` .
`text(e)^(2x) - 2 = text(e)^x` geeft `(text(e)^x)^2 - text(e)^x - 2 = 0` en dus `text(e)^x = 2 vv text(e)^x = text(-)1` zodat `x = ln(2) ~~ 0,693` .
`ln(N) = ln(t^2) - ln(text(e)^3)` dus `N = (t^2)/(text(e)^3)` .
`log(N) = log(t^2) - log(10^3)` dus `N = (t^2)/(1000)` .
`2N = ln(t + 2)` geeft `N = 0,5ln(t + 2)` .
`2N = log(t + 2)` geeft `N = 0,5log(t + 2)` .
`N = text(e)^(2t - 3)` .
`N = 0,5text(e)^t + 1,5` .
`(1/(text(e)))^x = (text(e)^(text(-)1))^x = text(e)^(text(-)x)` .
`text(e)^(2 ln(x)) = text(e)^(ln(x^2)) = x^2` .
`text(e)^(ln(x) + ln(2)) = text(e)^(ln(x)) * text(e)^(ln(2)) = x * 2 = 2x` .
`text(e)^(2 - ln(x)) = text(e)^2 * text(e)^(ln(1/x)) = text(e)^2 * 1/x = (text(e)^2)/x` .
T stelt de temperatuur, Tomg de omgevingstemperatuur, Tverschil het temperatuurverschil met de omgeving, ∆t de stapgrootte van de tijdstoename, ∆T de bijbehorende temperatuurtoename voor. Hier is ∆T dan elke tijdstap ∆t recht evenredige (een constante maal) het temperatuurverschil met de omgeving.
`c = text(-)0,2` en negatief omdat er sprake is van afkoeling (er gaat elke tijdstap iets van de temperatuur). Als je die constante in `text(-)0,15` verandert, verloopt het afkoelingsproces langzamer.
Eigen antwoord.
`V(t) = T(t) - T(0) = b * g^t` en `V'(t) = b * c_g * g^t` en dus is `V'` recht evenredig met `V` .
Omdat `lim_(t rarr oo) b*g^t = 0` .
Eigen antwoord.
Eigen antwoord.
`T(0) = 80` .
`lim_(t rarr oo) 20 + 60 * 0,8^t = 20 + 0 = 20` , dus `20` °C.
`c ~~ text(-)0,22` .
`V(t) = T(t) - 20 = 60 * 0,8^t` en `V'(t) = 60 * text(-)0,22 * 0,8^t` en dus is `V'` een veelvoud van `V` .
`V'(t) < 0` voor elke waarde van `t` .
Horizontale asymptoot `y = 8` met bijbehorende limiet `lim_(x rarr text(-)oo) 8 - 4 text(e)^x = 8 - 0 = 8` .
`(ln(2), 0)`
`f'(x) = text(-)4 text(e)^x` en de raaklijn is `y = text(-)8x + 8ln(2)` .
`x ≤ ln(1,5)`
Verticale asymptoot `x = 0` met bijbehorende limiet `lim_(x downarrow 0) 8 - 4 ln(x) = 8 + oo = oo` .
`(text(e)^(2), 0)`
`0 < x ≤ text(e)sqrt(text(e))`
`text(e)^N = 0,4t + 2` dus `N = ln(0,4t + 2)` .
`ln(N) = 0,4t + 2` dus `N = text(e)^(0,4t + 2)` .
`N = text(e)^(0,01 ln(t) + 1,15) = text(e)^(1,25) * t^(0,01)` .
`2text(e)^(x - 2) = text(e)^(4x)` geeft `text(e)^(x - 2 + ln(2)) = text(e)^(4x)` dus `3x = text(-)2 + ln(2)` zodat `x = (text(-)2 + ln(2))/3` .
`ln(x(x + 2)) = 1` geeft `x^2 + 2x - text(e) = 0` en dus `x = (text(-)2 + sqrt(4 + 4text(e)))/2` . (Alleen het positieve antwoord voldoet.)
`f'(x) = text(e)^x - 6text(e)^(2x)` .
`f'(x) = x^2 text(e)^(x) + 2x text(e)^x = (x^2 + 2x)text(e)^x` .