Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies > Het getal e

123456Het getal e

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

`y_2` is een benadering van de helling op een heel klein interval met beginwaarde `x` en daarom een benadering van de hellingswaarde voor die waarde van `x` .

Beide grafieken hebben dezelfde vorm.

De grafiek van `y_3` is een horizontale lijn, dus deze functie heeft steeds dezelfde uitkomst. Kennelijk is `y_1` recht evenredig met `y_2` .

`y_2 = c*f(x)` . Dat geldt ook als het grondtal een ander getal is.

Nee, die hebben afgeleides die geen veelvoud van de functie zelf zijn.

Opgave 1

Doen, gebruik de applet.

Je vindt `c ~~ 0,92` .

Nu vind je achtereenvolgens `c ~~ 0,99` en `c ~~ 1,03` .

Ja, dat lijkt er inderdaad te zijn. Dit getal is ongeveer `2,72` (als je voor niet meer dan twee decimalen gaat).

Opgave 2

Het mooiste is het maken van een applet in GeoGebra waarin je `h` steeds dichter naar `0` laat komen bij verschillende waarden van `g` (en `x` ?).

Je kunt in de formule bij a een factor `g^x` buiten haakjes halen.

`(g^(h) - 1)/(h)` hangt niet van `x` af en zal dus voor elke `x` dezelfde waarde hebben.

Als `h rarr 0` (neem bijvoorbeeld `h = 0,0000001` ) dan moet `(text(e)^(h) - 1)/(h) rarr 1` . Dit lukt steeds beter als je voor `text(e)` de juiste waarde invult: `text(e) ~~ 2,7218` .

Opgave 3

Als Y1=e^(X), of iets dergelijks. Horizontale asymptoot `y = 0` , met bijbehorende limiet `lim_(x rarr text(-)oo) text(e)^x = 0` .

Dat is de `y` -waarde bij `x = 1` .

`x ~~ 2,30` (los `f(x) = 10` op met de GR door de twee grafieken te snijden).

Doen.

Je vindt `x = ln(20) ~~ 2,996` .

Gebruik ook de grafiek. Je vindt `text(-)3,912 ≤ x ≤ 3,912` .

Het hellingsgetal in dit punt is `text(e)` en de vergelijking van de raaklijn is `y = text(e)x` .

Opgave 4

`f'(3) = text(e)^3` en `f(3) = text(e)^3` dus `y = text(e)^3 x - 2text(e)^3` .

Ga bijvoorbeeld na dat `ln(5) = 1,609...`
Plot ook zelf de grafiek en bepaal de snijpunten.

Je vindt `text(-)20 ≤ x ≤ ln(20)` .

Opgave 5

`2^x = 1/(8 sqrt(2)) = 2^(text(-)3,5)` dus `x = text(-)3,5` .

`text(e)^x = 1/(text(e)^3 sqrt(text(e))) = text(e)^(text(-)3,5)` dus `x = text(-)3,5` .

`5text(e)^x = 125` geeft `text(e)^x = 25` dus `x = ln(25) ~~ 3,219` .

`8text(e)^x = (2text(e) sqrt(text(e)))^3 = 8text(e)^(4,5)` geeft `x = 4,5` .

Opgave 6

Bij `y = 1` hoort `x = text(e)` .

Het domein van `f` kunt is het bereik van `g(x) = text(e)^x` en het bereik van `f` is het domein van `g` .

`x = text(e)^5 ~~ 148,4` .

`0,007 ≤ x ≤ 148,413` .

Opgave 7

`f'(x) = text(-)2 * text(e)^x`
`f'(x) = 0` levert geen `x` -waarden op.
Grafiek: `text(B)_f = (: larr, 100:)` .

`f'(x) = 3text(e)^(3x)`
`f'(x) = 0` levert geen `x` -waarden op.
Grafiek: `text(B)_f = (: 0, rarr :)`

`f'(x) = text(-)text(e)^(3 - x)`
`f'(x) = 0` levert geen `x` -waarden op.
Grafiek: `text(B)_f = (: 0, rarr :)`

`f'(x) = x text(e)^x + text(e)^x`
`f'(x) = 0` levert op `(x + 1)text(e)^x = 0` en dus `x = text(-)1` .
Grafiek: minimum `f(text(-)1) = text(-)1/(text(e))` . Dus: `text(B)_f = [ text(-)1/(text(e)), rarr :)` .

`f'(x) = (text(e)^x - xtext(e)^x)/((text(e)^x)^2) = (1 - x)/(text(e)^x)`
`f'(x) = 0` levert op `(1 - x)/(text(e)^x) = 0` en dus `x = 1` .
Grafiek: maximum `f(1) = 1/(text(e))` . Dus: `text(B)_f = (: larr, 1/(text(e)) ]` .

`f'(x) = 2xtext(e)^(x^2)`
`f'(x) = 0` levert op `2xtext(e)^(x^2) = 0` en dus `x = 0` .
Grafiek: minimum `f(0) = 1` . Dus: `text(B)_f = [1, rarr :)` .

Opgave 8

`2x = ln(0,05)` geeft `x = 1/2 ln(0,05) ~~ text(-)1,50` .

`x = text(e)^(2,06) ~~ 7,85` .

`4x = ln(10/3)` geeft `x = 1/4 ln(10/3) ~~ 0,30` .

Opgave 9

`y = ln(2 text(e)^x) = ln(2) + ln(text(e)^x) = ln(2) + x` .

`text(e)^(2y) = 0,5x^3` geeft `2y = ln(0,5) + 3 ln(x)` dus `y = 0,5 ln(0,5) + 1,5 ln(x)` .

`2 ln(y) = x - 3` geeft `ln(y) = 0,5x - 1,5` dus `y = text(e)^(0,5x - 1,5)` .

`text(e)^(0,5x) = y + 3` geeft `y = text(e)^(0,5x) - 3` .

`ln(y) = 1 - 2 ln(x) = ln(text(e)) - ln(x^2) = ln((text(e))/(x^2))` geeft `y = (text(e))/(x^2)` .

`ln(y) + 2 = 1/(ln(x))` geeft `ln(y) = 1/(ln(x)) - 2` en dus `y = text(e)^(1/(ln(x)) - 2)` .

`text(e)^(0,5y) = 4x` geeft `0,5y = ln(4x)` en dus `y = 2 ln(4x)` .

`text(e)^(text(-)y) = 4 text(e)^x` geeft `text(-)y = ln(4 text(e)^x) = ln(4) + x` en dus `y = text(-)ln(4) - x` .

Opgave 10

De e-macht is altijd groter dan nul. De asymptoot is `y = text(-)2` met bijbehorende limiet `lim_(x rarr oo) 4text(e)^(text(-)0,5x) - 2 = 0 - 2 = text(-)2` .

`4text(e)^(text(-)0,5x) - 2 = 0` geeft `text(e)^(text(-)0,5x) = 0,5` en dus `x = text(-)2 ln(0,5) = 2 ln(2)` .
Het nulpunt is `(2 ln(2), 0)` .

`f'(x) = text(-)2text(e)^(text(-)0,5x)` en dus `f'(2 ln(2)) = text(-)1` .
De vergelijking van de raaklijn is `y = text(-)x + 2 ln(2)` .

`4text(e)^(text(-)0,5x) - 2 = text(-)1` geeft `text(e)^(text(-)0,5x) = 0,25` en dus `x = text(-)2 ln(0,25) = ln(16)` .
De grafiek geeft `x > ln(16)` .

Opgave 11

De verticale asymptoot is `x = 0` met bijbehorende limiet `lim_(x uparrow 0) 4 ln(text(-)0,5x) - 2 = text(-)oo - 2 = text(-)oo` .

`text(D)_(f) = (:larr, 0:)` en `text(B)_(f) = RR` .

`4 ln(text(-)0,5x) - 2 = 0` geeft `ln(text(-)0,5x) = 0,5` en dus `text(-)0,5x = text(e)^(0,5)` zodat `x = text(-)2sqrt(text(e))` .
Het nulpunt is `(text(-)2 sqrt(text(e)),0)` .

`4 ln(text(-)0,5x) - 2 = text(-)1` geeft `ln(text(-)0,5x) = 0,25` en dus `text(-)0,5x = text(e)^(0,25)` zodat `x = text(-)2root[4](text(e))` . De grafiek geeft `text(-)2 root[4](text(e)) < x < 0` .

Opgave 12

`x = ln(3) ~~ 1,099`

`x = 3/(text(e)) ~~ 1,104`

`x = root[text(e)](3) ~~ 1,498`

`x = text(e)^3 ~~ 20,086`

`x = 10^3 = 1000`

`text(e)^(0,1x - 5) = 20` geeft `0,1x - 5 = ln(20)` en dus `x = 10 ln(20) + 50 ~~ 79,957` .

`ln(0,1x - 5) = 20` geeft `0,1x - 5 = text(e)^(20)` en dus `x = 10 text(e)^20 + 50 ~~ 4,852 * 10^9` .

Opgave 13

`text(e)^(3x - 6) = 1` geeft `3x - 6 = ln(1) = 0` en dus `x = 2` .

`text(e)^(2x) = text(e)^(x - 6)` geeft `2x = x - 6` en dus `x = text(-)6` .

`ln((2x)/(x - 6)) = 1` geeft `(2x)/(x - 6) = text(e)` en dan `2x = text(e)x - 6text(e)` zodat `x = (6text(e))/(text(e) - 2) ~~ 22,707` .

`ln(2x) = 0 vv ln(x - 6) = 0` geeft `x = 0,5 vv x = 7` .

`text(e)^(x ln(2)) = text(e)^(x + 2)` geeft `x ln(2) = x + 2` en dus `x = 2/(text(-)1 + ln(2)) ~~ text(-)6,518` .

`ln(2x) = text(e)` geeft `2x = text(e)^(text(e))` en dus `x = 0,5text(e)^(text(e)) ~~ 7,577` .

`text(e)^(2x) = 5text(e)^2` geeft `2x = ln(5text(e)^2) = ln(5) + 2ln(text(e)) = ln(5) + 2` en dus `x = 1/2 ln(5) + 1 ~~ 1,805` .

`text(e)^(2x) - 2 = text(e)^x` geeft `(text(e)^x)^2 - text(e)^x - 2 = 0` en dus `text(e)^x = 2 vv text(e)^x = text(-)1` zodat `x = ln(2) ~~ 0,693` .

Opgave 14

`ln(N) = ln(t^2) - ln(text(e)^3)` dus `N = (t^2)/(text(e)^3)` .

`log(N) = log(t^2) - log(10^3)` dus `N = (t^2)/(1000)` .

`2N = ln(t + 2)` geeft `N = 0,5ln(t + 2)` .

`2N = log(t + 2)` geeft `N = 0,5log(t + 2)` .

`N = text(e)^(2t - 3)` .

`N = 0,5text(e)^t + 1,5` .

Opgave 15

`(1/(text(e)))^x = (text(e)^(text(-)1))^x = text(e)^(text(-)x)` .

`text(e)^(2 ln(x)) = text(e)^(ln(x^2)) = x^2` .

`text(e)^(ln(x) + ln(2)) = text(e)^(ln(x)) * text(e)^(ln(2)) = x * 2 = 2x` .

`text(e)^(2 - ln(x)) = text(e)^2 * text(e)^(ln(1/x)) = text(e)^2 * 1/x = (text(e)^2)/x` .

Opgave 16

T stelt de temperatuur, Tomg de omgevingstemperatuur, Tverschil het temperatuurverschil met de omgeving, ∆t de stapgrootte van de tijdstoename, ∆T de bijbehorende temperatuurtoename voor. Hier is ∆T dan elke tijdstap ∆t recht evenredige (een constante maal) het temperatuurverschil met de omgeving.

`c = text(-)0,2` en negatief omdat er sprake is van afkoeling (er gaat elke tijdstap iets van de temperatuur). Als je die constante in `text(-)0,15` verandert, verloopt het afkoelingsproces langzamer.

Eigen antwoord.

`V(t) = T(t) - T(0) = b * g^t` en `V'(t) = b * c_g * g^t` en dus is `V'` recht evenredig met `V` .

Omdat `lim_(t rarr oo) b*g^t = 0` .

Eigen antwoord.

Opgave 17

`T(0) = 80` .

`lim_(t rarr oo) 20 + 60 * 0,8^t = 20 + 0 = 20` , dus `20` °C.

`c ~~ text(-)0,22` .

`V(t) = T(t) - 20 = 60 * 0,8^t` en `V'(t) = 60 * text(-)0,22 * 0,8^t` en dus is `V'` een veelvoud van `V` .

`V'(t) < 0` voor elke waarde van `t` .

Opgave 18

Horizontale asymptoot `y = 8` met bijbehorende limiet `lim_(x rarr text(-)oo) 8 - 4 text(e)^x = 8 - 0 = 8` .

`(ln(2), 0)`

`f'(x) = text(-)4 text(e)^x` en de raaklijn is `y = text(-)8x + 8ln(2)` .

`x ≤ ln(1,5)`

Opgave 19

Verticale asymptoot `x = 0` met bijbehorende limiet `lim_(x downarrow 0) 8 - 4 ln(x) = 8 + oo = oo` .

`(text(e)^(2), 0)`

`0 < x ≤ text(e)sqrt(text(e))`

Opgave 20

`text(e)^N = 0,4t + 2` dus `N = ln(0,4t + 2)` .

`ln(N) = 0,4t + 2` dus `N = text(e)^(0,4t + 2)` .

`N = text(e)^(0,01 ln(t) + 1,15) = text(e)^(1,25) * t^(0,01)` .

Opgave 21

`2text(e)^(x - 2) = text(e)^(4x)` geeft `text(e)^(x - 2 + ln(2)) = text(e)^(4x)` dus `3x = text(-)2 + ln(2)` zodat `x = (text(-)2 + ln(2))/3` .

`ln(x(x + 2)) = 1` geeft `x^2 + 2x - text(e) = 0` en dus `x = (text(-)2 + sqrt(4 + 4text(e)))/2` . (Alleen het positieve antwoord voldoet.)

Opgave 22

`f'(x) = text(e)^x - 6text(e)^(2x)` .

`f'(x) = x^2 text(e)^(x) + 2x text(e)^x = (x^2 + 2x)text(e)^x` .

verder | terug