Exponentiële en logaritmische functies > Het getal eToepassen
Practicum: Warmtewet van Newton
Als een kop thee of een kop koffie een tijdje in de kamer op tafel blijft staan koelt de inhoud langzaam af. Maar ze wordt nooit kouder dan de temperatuur in de kamer. Hoe verloopt die afkoeling precies?
-
Zorg voor een waterkoker en een digitale thermometer die temperaturen van `10` °C - `100` °C aankan. Breng water aan de kook en schenk dit in een glas waar de thermometer in staat. Lees vervolgens elke minuut de temperatuur van het water af in graden nauwkeurig. Maak een tabel en een grafiek. Meet ook de omgevingstemperatuur!
-
Probeer in woorden te beschrijven hoe de afkoeling van het water verloopt. Let daarbij vooral op het verschil tussen de gemeten temperaturen en de omgevingstemperatuur. Beschrijf ook de eenheden die je bij dit afkoelingsproces gebruikt. Welke eenheid gebruik je voor de temperatuur, voor het temperatuurverschil met de omgeving en voor de tijd?
De grote natuurkundige Isaac Newton (1643—1727) heeft het afkoelingsproces beschreven door vast te stellen dat de snelheid van afkoelen recht evenredig is met het temperatuurverschil van de vloeistof met de omgevingstemperatuur.
De snelheid van afkoelen is dan een constante maal het temperatuurverschil met de
omgeving.
Noem je de temperatuur
`T`
en de tijd
`t`
dan betekent dit:
`(∆T) / (∆t) =c*(T-T_(text(omg)))`
.
De constante
`c`
noem je de evenredigheidsconstante.
Dit heet de warmtewet van Newton.
Op grond hiervan kun je een formule afleiden waarmee de temperatuur van een afkoelende vloeistof van minuut tot minuut kan worden berekend. Dat ga je proberen te doen...
Je gebruikt er het Excel-bestand AfkoelingVloeistof.xls bij. In dit Excel bestand is de warmtewet van Newton verwerkt. Dat is terug te vinden in de formules. Je ziet hieronder een afdruk van het Excel-bestand.
Bekijk het afkoelingsproces beschreven in
Open het Excel-bestand.
Wat stellen T, Tomg, Tverschil, ∆t en ∆T voor?
Leg uit dat de modelformule ∆T := factor * Tverschil * ∆t een vertaling is van de
warmtewet van Newton.
Welke waarde heeft de evenredigheidsconstante in het gegeven model? Waarom is hij negatief? Wat gebeurt er als je die constante verandert in `text(-)0,15` ?
Vul in kolom E je eigen meetwaarden in en stel de juiste omgevingstemperatuur in. Pas de factor aan totdat je eigen meetwaarden zo goed mogelijk worden benaderd. Je hebt dan een passend afkoelingsmodel gevonden. Schrijf de bijbehorende evenredigheidsconstante op.
Volgens de warmtewet van Newton is de snelheid waarmee de temperatuur verandert recht evenredig met het temperatuurverschil met de omgeving.
Laat met behulp van een berekening zien dat functies van de vorm
`T(t) = a + b*g^t`
aan de warmtewet van Newton voldoen.
Bekijk nu je eigen gegevens. Waarom is `a` de omgevingstemperatuur?
Je berekent `b` met behulp van `T(0)` en de omgevingstemperatuur. En je kunt bijvoorbeeld de waarde voor `g` berekenen met behulp van een meetpunt `(t, T)` . Stel de formule op die past bij jouw meetgegevens.
Bereken met dit afkoelingsmodel hoeveel tijd de temperatuur van het water minder dan `30` °C is.
Een kop koffie uit een automaat heeft een temperatuur van `80` °C op het moment dat hij wordt ingeschonken. Hij koelt af volgens de formule:
`T(t) = 20 + 60 * 0,8^t`
Hierin is `T` de temperatuur van de koffie en `t` de tijd in minuten vanaf het moment van inschenken.
Ga na dat de koffie volgens de formule bij het inschenken een temperatuur van `80` °C heeft.
Hoeveel bedraagt de omgevingstemperatuur?
De afgeleide van `f(t) = 0,8^t` is `f'(t) = c * 0,8^t` . Bepaal met je grafische rekenmachine de bijpassende waarde van `c` .
Volgens de warmtewet van Newton is de snelheid waarmee de temperatuur verandert recht evenredig met het temperatuurverschil met de omgeving. Laat met behulp van een berekening zien dat de gegeven functie `T` aan de warmtewet van Newton voldoet.
Hoe kun je aan de afgeleide van `T` zien dat er inderdaad van afkoeling sprake is?