Exponentiële en logaritmische functies > Het getal eUitleg
Bij exponentiële groei gaat het om functies van de vorm
`f(x) = b*g^x`
. Neem je
`b = f(0) = 1`
, dan hebben deze functies de vorm
`f(x) = g^x`
. Ga na dat de helling van de grafiek, de groeisnelheid per eenheid, af hangt van
de grootte van
`g`
. Neem je bijvoorbeeld
`x = 1`
, dan zie je de helling groter worden als
`g`
groter wordt.
Neem je bijvoorbeeld
`g = 2`
dan zie je dat de helling voor elke
`x`
recht evenredig is met
`f(x)`
:
`f'(x) = c*g^x`
.
-
Voor `g = 2` geldt: `c ≈ 0,69` .
Dus als `f(x) = 2^x` dan is `f'(x) ≈ 0,69 *2^x` . -
Voor `g = 3` geldt: `c ≈ 1,10` .
Dus als `f(x) = 3^x` dan is `f'(x) ≈ 1,10 *3^x` .
Er lijkt een waarde van
`g`
te bestaan (tussen
`2`
en
`3`
) waarvoor geldt dat
`c = 1`
. Ga na, dat dit bij
`g ≈ 2,7`
het geval is. Het getal waarbij dit PRECIES het geval is, is net zo'n bijzonder getal
als
`π`
. Dit getal heeft de letter
`text(e)`
gekregen:
`text(e) = 2,71828...`
Voor dit getal geldt: als
`f(x)= text(e) ^x`
, dan is
`f'(x)= text(e) ^x`
.
Met `f(x) = text(e) ^x` reken je net als met alle exponentiële functies. Er hoort dus ook een logaritme met grondtal `text(e)` bij...
Lees eerst de
Bekijk de grafiek van `f(x) = 3^x` en (een benadering van) zijn afgeleide. Laat zien dat `f'(x) ~~ 1,10 * 3^x` , dus `c ~~ 1,10` .
Bekijk de grafiek van `f(x) = 2,5^x` en (een benadering van) zijn afgeleide. Bepaal nu zelf de bijpassende waarde van `c` .
Doe ditzelfde ook voor `f(x) = 2,7^x` en `f(x) = 2,8^x` .
Is er een getal `g` waarvoor `c = 1` ? Hoe groot is dit getal ongeveer?
Gegeven de functie `f(x) = g^x` . De verandering van `f` op een klein interval `[x, x + h]` is: `(Delta y)/(Delta x) = (g^(x + h) - g^x)/(h)` .
Leg dat met behulp van een figuur uit. (Maak eventueel een eigen applet in GeoGebra!)
Laat zien, dat `(Delta y)/(Delta x) = (g^(h) - 1)/(h) * g^x` .
Waarom kun je hieruit afgeleiden dat `f'(x) = c * g^x` ?
Neem `g = text(e)` en bepaal met behulp van het antwoord van b de waarde van `text(e)` .
Bekijk de grafiek van de functie `f(x) = text(e)^x` .
Hoe voer je die grafiek in je grafische rekenmachine in? Welke asymptoot heeft die grafiek?
Waar in de grafiek vind je het getal `text(e)` ?
Los met je grafische rekenmachine op `text(e)^x = 10` . Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
De exacte oplossing van `text(e)^x = 10` is gelijk aan `x = \ ^(text(e)) log(10 )` .
Laat zien dat je zo dezelfde waarde voor `x` vindt als bij c.
In plaats van `x = \ ^text(e) log(... )` wordt in de wiskunde `ln(...)` gebruikt. Je rekenmachine heeft een speciale toets voor `ln(...)` .
Los nu zowel exact als in drie decimalen nauwkeurig op: `text(e)^x = 20` .
Los op: `1/50 ≤ text(e)^x ≤ 50` . Geef benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.
Welk hellingsgetal heeft de grafiek van `f(x) = text(e)^x` in het punt `(1, text(e))` ? Stel een vergelijking op van de raaklijn in dat punt.