Exponentiële en logaritmische functies > Het getal e
123456Het getal e

Uitleg

Bij exponentiële groei gaat het om functies van de vorm . Neem je , dan hebben deze functies de vorm . Ga na dat de helling van de grafiek, de groeisnelheid per eenheid, af hangt van de grootte van . Neem je bijvoorbeeld , dan zie je de helling groter worden als groter wordt.
Neem je bijvoorbeeld dan zie je dat de helling voor elke recht evenredig is met : .

  • Voor geldt: .
    Dus als dan is .

  • Voor geldt: .
    Dus als dan is .

Er lijkt een waarde van te bestaan (tussen en ) waarvoor geldt dat . Ga na, dat dit bij het geval is. Het getal waarbij dit PRECIES het geval is, is net zo'n bijzonder getal als . Dit getal heeft de letter gekregen:
Voor dit getal geldt: als , dan is .

Met reken je net als met alle exponentiële functies. Er hoort dus ook een logaritme met grondtal bij...

Opgave 1

Lees eerst de Uitleg goed door. In het algemeen geldt: Als dan is .

a

Bekijk de grafiek van en (een benadering van) zijn afgeleide. Laat zien dat , dus .

b

Bekijk de grafiek van en (een benadering van) zijn afgeleide. Bepaal nu zelf de bijpassende waarde van .

c

Doe ditzelfde ook voor en .

d

Is er een getal waarvoor ? Hoe groot is dit getal ongeveer?

Opgave 2

Gegeven de functie . De verandering van op een klein interval is: .

a

Leg dat met behulp van een figuur uit. (Maak eventueel een eigen applet in GeoGebra!)

b

Laat zien, dat .

c

Waarom kun je hieruit afgeleiden dat ?

d

Neem en bepaal met behulp van het antwoord van b de waarde van .

Opgave 3

Bekijk de grafiek van de functie .

a

Hoe voer je die grafiek in je grafische rekenmachine in? Welke asymptoot heeft die grafiek?

b

Waar in de grafiek vind je het getal ?

c

Los met je grafische rekenmachine op . Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

De exacte oplossing van is gelijk aan .

d

Laat zien dat je zo dezelfde waarde voor vindt als bij c.

In plaats van wordt in de wiskunde gebruikt. Je rekenmachine heeft een speciale toets voor .

e

Los nu zowel exact als in drie decimalen nauwkeurig op: .

f

Los op: . Geef benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.

g

Welk hellingsgetal heeft de grafiek van in het punt ? Stel een vergelijking op van de raaklijn in dat punt.

verder | terug