Exponentiële en logaritmische functies > Het getal eTheorie
De afgeleide van de exponentiële functie
`f(x) = g^x`
vind je door de functie met een factor afhankelijk van
`g`
te vermenigvuldigen.
Als
`f(x) = g^x`
dan is
`f'(x) = c_g*g^x`
.
`f'(x) = lim_(h rarr 0) (f(x+h) - f(x))/h = lim_(h rarr 0) (g^(x+h) - g^x)/h = lim_(h rarr 0) (g^x * (g^h - 1)/h)` .
Dus is `f'(x)= lim_(h rarr 0) (g^x * (g^h - 1) /h) = lim_(h rarr 0) (g^h - 1)/h * g^x = c_g *g^x` .
Hierin is `c_g` een constante die van `g` afhangt.
Deze constante neemt voor
`g = text(e)`
de waarde
`1`
aan als
`lim_(h rarr 0) (text(e)^h -1)/h = 1`
.
Door deze limiet wordt het getal
`text(e)`
vastgelegd. Je zou benaderingen voor
`text(e)`
kunnen vinden door hele kleine getallen voor
`h`
te kiezen. Probeer maar...
Voor
`h = 0,0001`
vind je
`text(e)≈2,718145927`
.
Er bestaat een waarde van
`g`
waarvoor geldt dat
`c_g=1`
.
Deze natuurlijke groeifactor is het getal e.
Een benadering voor
`text(e)`
is:
`text(e)≈2,71828...`
Als `f(x) = text(e)^x` , dan is `f'(x) = text(e)^x` .
Met `f(x) = text(e)^x` reken je net als met alle exponentiële functies. Op je rekenmachine zit er een speciale toets voor. En er hoort ook een logaritme met grondtal `text(e)` bij...
Ook nu is
`text(e)^x = a`
gelijkwaardig met
`x = \ ^ text(e)log(a)`
.
In plaats van
`\ ^ text(e)log(a)`
schrijf je
`ln(a)`
.
`ln(a)`
is de natuurlijke logaritme van
`a`
.
De functies
`y = text(e)^x`
en
`y = ln(x)`
zijn elkaars inverse functies. De grafieken daarvan zijn elkaars spiegelbeeld bij
spiegelen in de lijn
`y = x`
.