Exponentiële en logaritmische functies > Exponentiële functies
123456Exponentiële functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De e-macht en de ln zijn elkaars inverse functie, dus .

b

c

Opgave 1
a

dus .

b

dus .

c

dus .

Opgave 2

geeft .

Opgave 3

Gebruik alle tot nu toe geleerde differentieerregels. Controleer pas je antwoord als je ze allemaal hebt gemaakt. Heb je fouten gemaakt? Bekijk dan goed wat je fout deed!

Opgave 4
a

b

c

d

Opgave 5
a

Doen.

b

geeft .
geeft .
geeft .
.

c

, dus je ziet de vervalsnelheid kleiner worden.

d

geeft en . Dus na ongeveer jaar.

Opgave 6
a

.
en geeft als vergelijking van de raaklijn .

b

geeft .
en geeft als vergelijking van de raaklijn .

c

. en geeft als vergelijking van de raaklijn .

d

geeft . en geeft als vergelijking van de raaklijn .

Opgave 7
a

geeft dus nulpunt . geeft en met de grafiek max.. Als dan geeft horizontale asymptoot .

b

geeft dus buigpunt .

c

geeft en een uiterste waarde van .

d

Op de lijn .

e

geeft .

f

Raaklijn in heeft hellingsgetal en dus vergelijking .
Raaklijn door geeft .

g

geeft en buigpunt . Buigpunt op betekent en dus .

Opgave 8
a

Niet al meteen de formule bekijken, maar bedenken hoe het proces verlopen zal. Stijgende grafiek van door en met horizontale asymptoot .

b

Grafiek van door en geeft en . Hieruit vind je en .

c

geeft dus vanaf seconden is dat het geval.

d

en dus is atm/s.

Opgave 9
a

geeft en het minimum is daarom .

b

en geeft .

Opgave 10
a

Nulpunt is alleen en horizontale asymptoot is .
geeft .
Met de grafiek geeft dit min. en max..

b

geeft .
De buigpunten zijn , en .

c

De lijn snijdt de grafiek in . Hij snijdt de grafiek in geen enkel ander punt als de helling van die lijn negatief is of groter dan . Dus moet .

Opgave 11
a

geeft , dus nulpunt . geeft , en met de grafiek max. en min.. Als dan , dus de horizontale asymptoot is .

b

geeft en dus . Het snijpunt is .

c

geeft en dus ( vervalt want dan is er niet één snijpunt, maar vallen beide grafieken samen). Het snijpunt is daarom . Dit punt ligt op als . Deze vergelijking is alleen op te lossen met behulp van de grafische rekenmachine. Je vindt .

d

geeft , dus . Omdat is en omdat bij wisselt van positief naar negatief en bij wisselt van negatief naar positief is er sprake van één maximum en wel voor . De grootte van het maximum is .

e

geeft .
De discriminant van deze vergelijking bepaalt het aantal buigpunten.

Opgave 12
a

Grafiek is stijgend vanaf naar horizontale asymptoot .

b

De snelheid van temperatuursverandering is recht evenredig met het temperatuursverschil met de omgeving en dat is .

c

en invullen geeft links en rechts van het isgelijkteken hetzelfde voor elke .

d

en invullen geeft en . Dus .

e

en °C/min. De opwarming verloopt steeds langzamer.

Opgave 13
a

De halveringstijd is 8,06 dagen, dus . Dan is , dus . De formule wordt dan: .

b

, dus ongeveer gram.

c

dus de evenredigheidconstante is .

d

geeft , dus na dagen.

e

Ook na ongeveer dagen, want de vervalsnelheid is recht evenredig met de hoeveelheid.

f

geeft , dus na dagen.
Theoretisch gesproken is de stof nooit volledig verdwenen, want de grafiek van nadert wel steeds dichter naar als groter wordt, maar die waarde wordt nooit echt bereikt.

Opgave 14C-14 methode
C-14 methode
a

geeft .

b

jaar.

c

jaar.

d

jaar.

Opgave 15
a

geeft en , dus .
geeft .
De vergelijking van de raaklijn wordt .

b

geeft .
geeft .
De vergelijking van de raaklijn wordt .

Opgave 16
a

geeft .

b

geeft . Dus ongeveer cm.

c

.

verder | terug