Exponentiële en logaritmische functies > Exponentiële functiesVerwerken
Bekijk de grafiek van de functie `f` met `f(x) = x + 2^(text(-)x)` .
Bereken het minimum van de grafiek van `f` in twee decimalen nauwkeurig.
Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 0` .
Gegeven is de functie `f` met `f(x) = x text(e)^(text(-)x^2)` .
Bereken algebraïsch de karakteristieken van de grafiek van `f` .
Bereken de buigpunten van de grafiek van `f` .
De lijn met vergelijking `y = px` heeft precies één punt met de grafiek van `f` gemeen. Welke waarden kan `p` aannemen?
Gegeven een familie van functies `f_p` door `f_p(x) = (x - p)^2 text(e)^x` , waarin `p > 0` .
Bereken algebraïsch de karakteristieken van `f_0` .
Bereken het snijpunt van de grafieken van `f_0` en `f_1` .
Het snijpunt van de grafieken van `f_0` en `f_p` ligt op de lijn `y = 1` . Bepaal voor welke `p` dit het geval is.
Toon aan dat `f_p` precies één maximum heeft en druk dit maximum uit in `p` .
Onderzoek hoeveel buigpunten de grafieken van `f_p` hebben.
Melk bewaar je in de koelkast op een temperatuur van `6` °C. Als je een glas melk inschenkt heeft dit op `t = 0` dan ook deze temperatuur. Vanaf dat moment warmt de melk op tot kamertemperatuur, zeg `20` °C. Die opwarming gaat volgens de warmtewet van Newton zo, dat de snelheid van opwarmen recht evenredig is met het temperatuurverschil met de omgeving.
Maak een schets van het verloop van de temperatuur `T` van de melk als functie van de tijd `t` in minuten.
Leg uit dat de functie `T` die de temperatuur van de melk in het glas beschrijft moet voldoen aan `T'(t) = c * (T(t) - 20)` .
Toon aan dat een functie van de vorm `T(t) = 20 + a * text(e)^(ct)` voldoet.
Neem aan, dat na `12` minuten de melk is opgewarmd tot `18` °C. Stel een daarbij passende formule voor `T(t)` op.
Bereken de opwarmsnelheid van de melk op `t = 0` en op `t = 15` . Verklaar het verschil tussen beide waarden.
Bij onderzoek in het menselijk lichaam gebruiken artsen de stof jodium-131. Die stof is namelijk radioactief en daardoor kunnen deeltjes van die stof in het menselijk lichaam van buitenaf worden gevolgd. De halveringstijd (of halfwaardetijd) van jodium-131 is `8,06` dagen. Omdat radioactief verval exponentieel verloopt, kan de hoeveelheid jodium-131 in mg worden beschreven door:
`m = m_0 * text(e)^(text(-)kt)`
`t` is daarin de tijd in dagen en `m_0` is de hoeveelheid op tijdstip `t = 0` .
Bereken `k` , dat is de zogenaamde desintegratieconstante.
Als iemand een stof krijgt ingespoten die `5,00` mg jodium-131 bevat, hoeveel is daar na `15` dagen dan nog van terug te vinden?
Toon aan dat in dit model de vervalsnelheid recht evenredig is met de hoeveelheid radioactieve stof. Hoe groot is de bijbehorende evenredigheidsconstante?
Na hoeveel dagen is er nog `10` % van de beginhoeveelheid over?
Na hoeveel dagen is de vervalsnelheid (de radioactiviteit) verminderd tot `10` % van de beginsnelheid?
Als een meetnauwkeurigheid van twee decimalen maximaal haalbaar is, na hoeveel dagen is de ingespoten `5` mg jodium-131 dan niet meer meetbaar? Is de stof ooit volledig verdwenen?