Exponentiële en logaritmische functies > Exponentiële functiesVoorbeeld 3
Bereken algebraïsch de extremen van de functie `f` met `f(x) = (x^2 + 2x) * text(e)^(text(-)x)` .
Bekijk eerst de grafiek van `f` , bijvoorbeeld met de grafische rekenmachine.
`f'(x) = (2x + 2)*text(e)^(text(-)x) + (x^2 + 2x)*text(e)^(text(-)x)*text(-)1 = (2 - x^2)* text(e)^(text(-)x)` .
Voor de extremen los je op:
`f'(x) = 0`
.
Ga na, dat je vindt:
`x = text(-)sqrt(2) ∨ x = sqrt(2)`
.
De extremen zijn:
min.
`f(text(-)sqrt(2)) = (2 - 2 sqrt(2))text(e)^(sqrt(2))`
en max.
`f(sqrt(2)) = (2 + 2 sqrt(2))text(e)^(text(-)sqrt(2))`
.
Gegeven is de functie `f` met `f(x) = x text(e)^(text(-)x)` .
Bereken algebraïsch alle karakteristieken van de grafiek van
`f`
. Bekijk eventueel eerst
Bereken het buigpunt van de grafiek van `f` en stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in dit buigpunt.
De functie `f_a` wordt gegeven door `f_a(x) = ax text(e)^(text(-)x)` .
Hebben alle functies `f_a` een uiterste waarde? Zo ja, druk die uiterste waarde dan uit in `a` .
Op welke rechte lijn liggen alle toppen van functies `f_a` ?
Voor welke `a` is de uiterste waarde van `f_a` gelijk aan `80` ?
Voor welke `a` gaat de raaklijn aan de grafiek van `f_a` in `(0, 0)` ook door het punt `(2, 15)` ?
Voor welke `a` ligt het buigpunt van de grafiek van `f_a` op de lijn `y = 20` ?
Bij benzinestations is vaak een extra service beschikbaar om de autobanden op te pompen. De automatische pomp levert een druk van `3,5` atmosfeer. De luchtdrukverandering in de band is recht evenredig met het drukverschil tussen de luchtdruk in de band en de luchtdruk van de pomp. De luchtdruk in de band begint met `1,4` atmosfeer en is na `10` seconden pompen opgelopen tot `2,0` atmosfeer.
De luchtdruk `p` in de band (in atmosfeer) hangt gedurende het oppompen af van de tijd `t` in seconden. Schets een passende grafiek bij dit verband.
`p(t)` kan worden beschreven door een formule van de vorm: `p(t) = 3,5 - a * g^t` .
Bereken `a` en `g` .
Je stopt de pomp als de druk in de band `2,6` atmosfeer bedraagt. Na hoeveel seconden is dat het geval?
Bereken de snelheid waarmee de druk in de band toeneemt op `t = 0` .