Je wilt
`f(x) = 2^x`
differentiëren.
Je weet dat de afgeleide van
`y = text(e)^x`
is
`y' = text(e)^x`
.
Verder ken je de eigenschappen van exponenten en logaritmen.
Met behulp van deze eigenschappen kun je van grondtal veranderen.
In het algemeen is
`g^(\ ^glog(2)) = 2`
.
Dit geldt ook voor grondtal
`g = e`
, dus
`text(e)^(ln(2)) = 2`
.
Hieruit volgt:
`f(x) = (text(e)^(ln(2)))^x = text(e)^(ln(2)*x)`
.
Nu kun je
`f`
met behulp van de kettingregel differentiëren, het grondtal is namelijk
`text(e)`
.
Je vindt:
`f'(x)= text(e)^(ln(2)*x) * ln(2)`
.
En dit kun je weer schrijven als
`f'(x) = 2^x*ln(2)`
.
Deze redenering kun je ook op elk ander grondtal toepassen. Doe je dit op grondtal `g` dan blijkt de afgeleide van `f(x)=g^x` te zijn: `f'(x) = g^x*ln(g)` .
In de
Bepaal op dezelfde manier de afgeleide van `g(x) = 3^x` .
Bepaal op dezelfde manier de afgeleide van `h(x) = 0,5^x` .
Bepaal nu zelf de afgeleide van `f(x) = g^x` .
Je hebt in de voorgaande opgave de afgeleide van `f(x) = g^x` bepaald.
Ga na dat deze afgeleide ook geldt voor `f(x) = text(e)^x` .