`f'(x) = 1/(5x) * 5 = 1/x` en `f'(10) = 0,1` .

`f'(x) = 3/(4 - x) * text(-)1 = (text(-)3)/(4 - x)` en `f'(10) = 0,5` .

`f(x) = text(-) ln(x)` dus `f'(x) = text(-) 1/x` en `f'(10 ) = text(-)0,1` .

`f'(x) = 1/(4x) * 4 = 1/x = 10` geeft `x = 0,1` .

`f'(x) = 1/(ln(3)*x) = 10` geeft `x = 1/(10 ln(3))` .

`f'(x) = 5 * 1/(ln(10)*x) = 5/(xln(10)) = 10` geeft `x = 1/(2 ln(10))` .

`f'(x) = 50 * 1/(2x) * 2 = 50/x = 10` geeft `x = 5` .

`f'(x) = 1/(ln(2)*(50 + x^2)) * 2x = (2x)/((50 + x^2)ln(2)) = 10` geeft `2x = 10 ln(2)(50 + x^2)` . Er zijn geen oplossingen (abc-formule).

`f(x) = 2 (ln(3x))^(text(-)1)` geeft `f'(x) = text(-)2 (ln(3x))^(text(-)2) * 1/(3x) * 3 = (text(-)2)/(3x ln^2(3x)) = 10` en dus `3x ln^2(3x) = text(-)0,2` . Er zijn geen oplossingen.

`h = text(-)6,5 log(p/1020)` geeft `h'(p) = (text(-)6,5)/ (p ln(10))` .

`h(900) ≈ 0,353` en `h'(900) ≈ text(-)0,003` .

`h'(p) = (text(-)6,5)/(p ln(10)) < 0` omdat `p gt 0` .

`text(D)_(f) = (:text(-)2, rarr:)` en `text(D)_(g) = (:larr, 0:)` .
Op het interval `[text(-)5, 3]` zie je goed het verloop van de grafieken. De `y` -waarden lopen dan van `text(-)3` tot `3` .

`ln(2x + 4) = ln(text(-)x)` geeft `2x + 4 = text(-)x` en dus `x = text(-) 4/3` .
Met de grafiek vind je `text(-)2 < x ≤ text(-) 4/3` .

`f'(x) = 2/(2x + 4)` en `g'(x) = 1/x` .
`f'(text(-)4/3) = 1,5` dus de hoek met de positieve `x` -as is `56,3^@` .
`g'(text(-)4/3) = text(-)0,75` dus de hoek met de positieve `x` -as is `text(-)36,9^@` .
De scherpe hoek tussen beide grafieken is `86,8^@` .

Ga na, dat je hetzelfde krijgt als in het voorbeeld.

`f''(x) = (2 ln(x) + 2)/x = 0` geeft `ln(x) = text(-)1` en dus `x = 1/(text(e))` .
Het buigpunt is `(1/(text(e)), 1/(text(e)))` en `f'(1/(text(e))) = text(-)1` . De vergelijking van de raaklijn is daarom `y = text(-)x+2/(text(e))` .

`f'(x) = nx^(n - 1) * ln(x) + x^(n - 1) = 0` geeft `ln(x) = text(-)1/n` en dus `x = text(e)^(text(-) 1/n)` .
Nu is `f(text(e)^(text(-) 1/n)) = (text(-)text(e))/n` en voor positieve gehele `n` is dit een getal tussen `text(-)text(e)` en `0` .

Het snijpunt van de grafiek van alle `f_n` met de `x` -as is `(1, 0)` . `f'(1) = 1` en dus is de gevraagde hoek gelijk aan `45` °.

`f''(x) = n(n - 1)x^(n - 2) * ln(x) + (2n - 1)x^(n - 2) = 0` geeft `ln(x) = (text(-)2n + 1)/(n(n - 1))` .
Als `n = 1` heeft deze vergelijking geen oplossingen. Als `n > 1` dan is `(text(-)2n + 1)/(n(n - 1)) < 0` en zijn er ook geen oplossingen. Geen enkele functie `f_n` heeft buigpunten.

`f_2(x) = x^2 ln(x)` en `f_2'(x) = 2x ln(x) + x` .
Raaklijn door `O(0, 0)` en `P(p, p^2 ln(p))` heeft richtingscoëfficiënt `f'(p)` , dus `p^2 ln(p) = (2p ln(p) + p) * p` .
Dit geeft `p^2 ln(p) + p^2 = 0` zodat `p = 0 vv ln(p) = text(-)1` .
Omdat `p = 0` vervalt is `p = 1/(text(e))` en `P(1/(text(e)), (text(-)1)/(text(e)^2))` .

`f'(x) = text(-)1/((2 - x)ln(2))` geeft `f'(1) = (text(-)1)/(ln(2))` en `f(1) = 0` zodat de raaklijnvergelijking is `y = text(-)1/(ln(2)) x + 1/(ln(2))` .

`f'(x) = (2x + 4)/(x^2 + 4x)` geeft `f'(1) = 1,2` en `f(1) = ln(5)` zodat de raaklijnvergelijking is `y = 1,2 x + ln(5) - 1,2` .

`f'(x) = ln(2x) + 1` geeft `f'(1) = ln(2) + 1` en `f(1) = ln(2)` zodat de raaklijnvergelijking is `y = (ln(2)+1)x - 1` .

`f'(x) = (1 - ln(x))/(x^2)` geeft `f'(1) = 1` en `f(1) = 0` zodat de raaklijnvergelijking is `y = x - 1` .

`f(x) = 1/(ln(x+1)) = (ln(x+1))^(text(-)1)` dus `f'(x) = (text(-)1)/((x+1)ln^2(x+1))` . Dit geeft `f'(1) = (text(-)1)/(2 ln^2(2))` en `f(1) = 1/(ln(2))` . De raaklijnvergelijking is `y = 1/(2 ln^2(2))*x + (2ln(2)+1)/(2 ln^2(2))` .

`f'(x) = text(-)2/(x^2) + 1/x` .
`f(1) = 2 + ln(2)` en `f'(1) = text(-)1` dus de raaklijnvergelijking is `y = text(-)x + 3 + ln(2)` .

`f'(x) = 0` geeft `x = 2` . Het minimum is `f(2) = 1 + ln(4)` .

`f'(x) = text(-)1` geeft `x^2 + x - 2 = 0` zodat `x = text(-)2 ∨ x = 1` .
Omdat `x = text(-)2` vervalt vind je alleen `x = 1` .

`6 - x = 1/x` geeft `x = 3 ± 2 sqrt(2)` .
De bijbehorende `y` -waarden berekenen geeft: de snijpunten zijn ongeveer `(5,83 ; text(-)2,54 )` en `(0,17 ; 2,54 )` .

De punten `A` en `B` liggen beide op de verticale lijn `x = k` . Dus moet `h(k) = f(k) - g(k)` maximaal zijn.
`h'(k) = 1/(ln(2))(text(-)1/(6 - k) + 1/k)` geeft `k = 3` . En `h(3) = 2 *\ ^2log(3)` .

`y = p` geeft `6 - x = 2^p vv 1/x = 2^p` en dus `x = 6 - 2^p vv x = 1/(2^p)` .
Het verschil van deze twee `x` -waarden is `l(p) = 6 - 2^p - 1/(2^p)` .

`l'(p) = text(-)2^p ln(2) + 2^(text(-)p) ln(2) = 0` geeft `2^p = 2^(text(-)p)` en dus `p = 0` . Je vindt max. `l(0) = 4` .

`x(ln(x) - 1) = 0` geeft `x = 0 vv x = text(e)` . De oorsprong is nog niet duidelijk als nulpunt, want daar bestaat de natuurlijke logaritme niet. Snijpunt met de `y` -as geeft weer de oorsprong. `f'(x) = ln(x) = 0` geeft `x = 1` en min. `f(1) = text(-)1` .

Doen, je ziet `f(0) = 0` . Hoe dat precies zit valt buiten het bestek van de wiskunde B op vwo.

Raaklijn `y = ax - 1` geeft `x(ln(x) - 1) = ax - 1 vv ln(x) = a` geeft `xln(x) - x = x ln(x) - 1` en dus `x = 1` .
Het raakpunt is `(1, text(-)1)` .

De functies `f_p` zijn te schrijven als `f_p(x) = x^2 - ln(x) - ln(p)` . Je ziet dat de functie `g(x) = x^2 - ln(x)` met `text(-) ln(p)` t.o.v. de `x` -as verschuift. De grootte van de translatie wordt bepaald door `p` .

`f_p'(x) = 2x - 1/x = 0` geeft `x = 1/2 sqrt(2)` .
`f(1/2 sqrt(2)) = 1` geeft `1/2 - ln(p) + 1/2 ln(2) = 1` en dus `p = text(e)^(text(-)1/2 + 1/2 ln(2))` .

`f_p''(x) = 2 + 1/(x^2) > 0` voor elke waarde van `x` , dus er is geen buigpunt.

`I = 10^(text(-)12)` geeft `L = 0` .
`I = 10` geeft `L = 130` .

`L = 80` geeft `I = 10^(text(-)4)` . Voor twee auto's is `I = 2 * 10^(text(-)4)` en dus `L = 83,01` dB.

`77 = L_0 - 10 * log(40pi)` geeft `L_0 = 77 - 10 * log(40pi)` . Op 100 meter vind je: `L = 77 - 10log(40pi) - 10log(200pi) = 70` dB.

`L = 77 - 10log(40pi) - 10log(2pi R) = 60` geeft `17 = 10log(20/R)` en dus `R = 10^(2,7) ~~ 501,19` m.

`L = L_0 - 10 log(2pi R)` met `L(20) = 80` geeft `L_0 = 80 + 10 log(40pi)` .
Dus `L = 80 + 10 log(40pi) - 10 log(2pi R) = 80 + 10 log(20/R)` .

`f'(x) = 1/(x ln(3)) = 10` geeft `x = 1/(10 ln(3))` .

`f'(x) = (text(-)2)/((11 - x)ln(10)) = 10` geeft `11 - x = (text(-)2)/(10 ln(10))` en dus `x = 11 + 2/(10 ln(10))` .

`f'(x) = 1/x = 10` geeft `x = 0,1` .

Nulpunt: `x = text(e)` .
Er is geen snijpunt met de `y` -as.
Extremen: max. `f(1) = 2` .

`(sqrt(text(e)), 4/(text(e)))`

`P(2, 1 + ln(2))`

`a = (text(-)5)/(ln(100)) ~~ text(-)1,086` en `b = 6` .

`m = (text(-)5)/(ln(100)) * ln(I) + 6` en `m(73) ~~ 1,34` .

`text(-)1,6 = (text(-)5)/(ln(100)) * ln(I) + 6` geeft `I ~~ 1096,48` .

`I = text(e)^(0,2ln(100)(6 - m))`

Dubbelster: `m ~~ 3,84` .