Exponentiële en logaritmische functies > Logaritmische functiesVoorbeeld 3
Gegeven is de functie `f` met `f(x) = x ln^2(x)` .
Bereken algebraïsch de extremen van
`f`
.
Bereken de coördinaten van de punten op de grafiek van
`f`
waarin de raaklijn evenwijdig is aan de lijn met vergelijking
`y = 3x`
.
Om de grafiek te kunnen tekenen stel je vast dat het domein `[0, →〉` en het nulpunt `x = 1` is.
De afgeleide van `f` is: `f'(x) = ln^2(x) + 2 ln(x)` .
De extremen vind je uit
`f'(x)= ln^2(x) + 2 ln(x) = 0`
.
Dit geeft
`ln(x)*(ln(x) + 2) = 0`
, dus
`ln(x) = 0 ∨ ln(x) = text(-)2`
en dus
`x = 1 ∨x = text(e)^(text(-)2)`
.
Dus zijn de extremen min.
`f(1) = 0`
en max.
`f(text(e)^(text(-)2)) = 4 text(e)^(text(-)2)`
.
Voor de raaklijn ga je uit van
`f'(x) = 3`
.
Dit geeft:
`ln^2(x) + 2 ln(x) = 3`
en dus
`ln^2(x) + 2 ln(x) - 3 = 0`
.
Dit levert op:
`ln(x) = 3 ∨ ln(x) = text(-)1`
en dus
`x = text(e)^3 ∨ x = text(e)^(text(-)1)`
.
De gevraagde punten zijn
`(text(e)^3, 9 text(e)^3)`
en
`(text(e)^(text(-)1), text(e)^(text(-)1))`
.
In
Bepaal zelf de afgeleide van `f` en bereken de extremen van `f` .
Bereken het buigpunt van de grafiek van `f` en stel een vergelijking op van de raaklijn aan die grafiek in dit buigpunt.
Gegeven is de familie van functies `f_n` met het voorschrift `f_n(x) = x^n ln(x)` met `n` een positief geheel getal.
Waarom is er geen functie van deze familie waarvan de top op de lijn `y = 2` ligt?
Bereken de hoek waaronder de grafiek van elke functie `f_n` de `x` -as snijdt.
Druk de buigpunten van de grafieken van `f_n` uit in `n` . Hoeveel buigpunten heeft elke grafiek?
Op de grafiek van `f_2` ligt een punt `P` waarin de raaklijn aan die grafiek door de oorsprong van het assenstelsel gaat. Bereken de coördinaten van `P` .