Exponentiële en logaritmische functies > Logaritmische functiesTheorie
De afgeleide van de natuurlijke logaritmische functie `f(x) = ln(x)` is `f'(x) = 1/x` .
Je gebruikt de definitieformule
`ln(text(e)^x) = x`
.
Voor
`f(x) = ln(x)`
geldt dan
`f(text(e)^x) = x`
.
Als je hierin links en rechts van het isgelijkteken differentieert, dan vind je
`f'(text(e)^x) * text(e)^x = 1`
, dus
`f'(text(e)^x) = 1/(text(e) ^x)`
.
Vervang je hierin
`text(e)^x`
door een letter, bijvoorbeeld
`x`
, dan staat er
`f'(x) = 1/x`
.
De afgeleide van de g-logaritme
`f(x) = \ ^(g)log(x)`
is hieruit af te leiden door te gebruiken dat
`\ ^(g)log(x) = (ln(x))/(ln(g))`
.
Je vindt:
Als `f(x) = \ ^(g)log(x)` , dan is `f'(x) = 1/(ln(g)*x)` .
Verder kun je nu allerlei functies waarin vormen als `ln(x)` en/of `\ ^(g)log(x)` voorkomen differentiëren met de differentieerregels. Daarmee kun je van functies die ingewikkelder zijn dan zuiver logaritmische functies ook de karakteristieken bepalen. En ook kun je nu eindelijk de algemene machtsregel bewijzen.