Maak een tabel van `log(N)` voor `t = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,...` .

`log(K) = log(600 * 0,8^t) = log(600) + log(0,8^t) = log(600) + t * log(0,8)` .

Rechte lijn door `(0 , log(600))` met richtingscoëfficiënt `log(0,8)` .

`log(K) = log(600 * 0,8^t) = log(600) + log(0,8^t) = log(600) + t * log(0,8)` .

De grafiek van `K(t)` wordt nu een rechte lijn door `(0, 600)` , `(1, 480)` , `(2, 384)` , enzovoorts.
`N(t) = a*g^t` door `(0,5; 8000)` en `(6, 400)` geeft `a*g^(0,5) = 8000` en `a*g^6 = 400` . Dit levert op `a = 10500` en `g ≈ 0,58` , dus `N(t) ~~ 10500 * 0,58^t` .

Doen.

`N(t)=0` heeft geen oplossingen, de `t` -as is een horizontale asymptoot.

Maak eerst een tabel.

`log(N_4(t)) = log(400 - 300 * 0,75^t)` . Dit kan niet herleid worden tot een lineair verband tussen `log(N_4)` en `t` .

Zie tabel.

`t`	0	1	2	3	4	5	6
`log(N)`	1,7	1,9	2,2	2,4	2,6	2,8	3,1

Grafiek is praktisch een rechte lijn, dus exponentiële groei.

`log(N) ~~ 1,70 + 0,225t`

`log(N) ~~ 1,70 + 0,225t` geeft `N ~~ 10^(1,70 + 0,225t) = 50 * 1,68^t`

`log(N) = log(20) + 1,5 * log(t)` geeft een rechte lijn door `(0, log(20))` met richtingscoëfficiënt `1,5` .

Je krijgt een rechte lijn door `(0, 0)` , `(1, 20)` , etc.

`log(K) = log(600 * t^(0,8)) = log(600) + log(t^(0,8)) = log(600) + 0,8 log(t)` .

Rechte lijn door `(0, 0)` , `(1, 600)` , etc.

Aan de machten van `10` op horizontale en verticale as.

Kleine honden zitten bij `(10^(1,1), 10^(2,4))` .

`log(P) ≈ 2,41 - 0,14 *log(m)` geeft `P ~~ 10^(2,4)*m^(text(-)0,14)` .
(Kan ook met behulp van twee afgelezen punten.)

`P≈131` passen per minuut.

Zie figuur. Vergelijk jouw lijn met de door Excel gegeven lijn.

Grafiek gaat door `(8, 10)` en ongeveer door `(21, 100)` . `N(t) = a * text(e)^(kt)` geeft dan `a * text(e)^(8k) = 10` en `a * text(e)^(21k) = 100` zodat `text(e)^(13k) = 100/10 = 10` en `k ~~ 0,18` . Vul je dit in één van beide vergelijkingen in, dan vind je `a ~~ 2,23` . Dus `N(t) ~~ 2,23 * text(e)^(0,18t)` . (Je kunt ook uitgaan van `N(t) = a * g^t` . Dan vind je `N(t) ~~ 2,23 * 1,19^t` .)

Maak een tabel bij de bij b gevonden functie op je grafische rekenmachine.

`N(t) = 2,23 text(e)^(0,18t) > 1000` geeft `t = (ln(1000/(2,23)))/(0,18) ~~ 33,9` . Dus na `34` dagen.

Zie figuur; in beide gevallen liggen de punten redelijk op een rechte lijn. Je krijgt daarom een machtsfunctie `T = a * R^b` .

De grafiek moet in ieder geval door `(1, 1)` .

Het antwoord bij b betekent: `a = 1` . Neem je aan dat de grafiek ook door `(30, 165)` gaat dan wordt `165 = 30^b` en dus `b = (ln(165))/(ln(30)) ~~ 1,50` . Dus `T = R^(1,5)` .

`R = 38,4851` geeft volgens de formule `T ~~ 238,5` jaar.

GR: `y_1 = 350/(1 + 174*0,81^x)` met venster `[0, 50] xx [0, 360]` .

Zie het voorbeeld. Je kunt wel een ander punt kiezen, maar je formule zal uiteindelijk niet heel veel afwijken van die in het voorbeeld.

`N'(t) = (text(-)350)/((1 + 174 * 0,81^t)^2) * 174 * ln(0,81) * 0,81^t` .
`N''(t) = (text(-)350)/((1 + 174 * 0,81^t)^3) * 174 * ln^2(0,81) * 0,81^t * (174 * 0,81^t - 1) = 0` geeft `t ~~ 24,48` .
(Het verschil met de gevonden waarde in het voorbeeld zit hem waarschijnlijk in de afronding naar `0,81` .)

Nu wordt `20,7 = 20 + 60 * g^(20)` en ook dit geeft `g ~~ 0,80` . Je krijgt dus hetzelfde functievoorschrift.

`T'(t) = 60 * ln(0,80) * 0,80^t` en dus is `T'(10) ~~ text(-)1,44` . De afkoelingssnelheid is ongeveer `1,44`  °C/min.

De hoogteverschillen per `2` weken zijn niet constant, dus geen lineaire groei.
Er is geen sprake van een constante groeifactor per `2` weken, dus ook geen exponentiële groei.
Het is daarom geen van beide.

Zie de tabel hieronder. Maak bij deze tabel een grafiek.

`t`	2	4	6	8	10	12
`log(F)`	0,786	0,207	-0,296	-0,911	-1,701	-2,409

Je kunt een rechte lijn tekenen die de zes punten van de grafiek van `F` redelijk benadert.
Dus is er een lineair functievoorschrift `F(t) = at + b` .
Met `F(2) = 0,786` en `F(12) = text(-)2,409` vind je een richtingscoëfficiënt van ongeveer `text(-)0,32` .
En zo krijg je `F(t) ≈ text(-)0,32t + 1,43` .

`F(t) = log((256 - H(t))/(H(t))) = text(-)0,32t + 1,43` geeft `(256 - H(t))/(H(t)) = 10^(text(-)0,32t + 1,43)` en dus `256 - H(t) = H(t) * 10^(text(-)0,32t + 1,43)` .
Dit levert op: `256 = H(t) * (10^(text(-)0,32t + 1,43) + 1)` zodat `H(t) = 256/(10^(text(-)0,32t + 1,43) + 1) = 256/(1 + 10^(text(-)0,32t + 1,43))` .
Er is sprake van geremde exponentiële groei.

Groeisnelheid `H'(t) = (text(-)256)/((10^(text(-)0,32t + 1,43) + 1)^2) * 10^(text(-)0,32t + 1,43) * ln(10) * text(-)0,32` .
Dus `H'(1) ~~ 12,6` is kleiner dan de gemiddelde groei in de tweede week omdat de groei dan nog steeds sneller toeneemt.

`H'(10) ~~ 3,1` is groter dan de gemiddelde groei in de tiende week omdat de groei dan steeds langzamer gaat.

`H'(t)` heeft een maximum voor `t ~~ 4,47` . Dit is op dag `4` .
Je kunt dit algebraïsch berekenen met behulp van de tweede afgeleide: `H''(t) = 0` oplossen.

Teken de punten zo nauwkeurig mogelijk op dubbellogaritmisch papier.

De grafiek is op dubbellogaritmisch papier bij benadering een rechte lijn.

De waarden zullen afhangen van de rechte lijn die je hebt getekend.

Je vindt iets als `a ≈ 59` en `b ≈ 0,54` , dus `E ≈ 59 * m^(0,54)` .

`E ~~ 59*3200^(0,54) ≈ 4609` cal/km.

Er is sprake van een minteken omdat de hoeveelheid afneemt. De afnamesnelheid is recht evenredig met de hoeveelheid.

`G'(x) = text(-)kb * text(e)^(text(-)kx) = text(-)k * G(x)` .

`G(6) = b * text(e)^(text(-)0,2 * 6) ~~ b * 0,30` . `30` % van het graan is nog niet uit het stro geschud.

Hoe groter `k` , hoe meer graan er uit het stro wordt gehaald, vandaar die naam.
`v = 2` geeft `k = 0,5` .
`G(6) = b * text(e)^(text(-)0,5 * 6) ~~ b * 0,05` . `5` % van het graan is nog niet uit het stro geschud.

Dan moet `G(6) = 0` . Dit lukt alleen als `v = 0` .

Afname `1,5` keer zo groot past niet bij een lineair proces. Afname neemt exponentieel toe, wat overblijft dus niet.

`1,0414^10 ~~ 1,5` en `3311 - 274 * 1,5 = 2900` .

In het jaar 2032.

`y'(t) = text(-)274 * ln(1,0414) * 1,0414^t` .
Nu is `y'(0) = text(-)274 * ln(1,0414) * 1` en `y'(10) = text(-)274 * ln(1,0414) * 1,5` , dus het klopt.

De grafiek bij deze tabel is op dubbellogaritmisch papier bij benadering een rechte lijn door `(63,5; 1,65)` en `(225,0; 3,00)` .

`a ≈ 0,47` en `A ≈ 0,24` .

`N(t) ~~ 5000 * text(e)^(text(-)0,05t)` en `G(t) = 0,60 - 0,54 * text(e)^(text(-)0,21t)` .

`T(t) = N(t) * G(t) = 5000 * text(e)^(-0,05t) * (0,60 - 0,54 * text(e)^(text(-)0,21t)) = 3000text(e)^(-0,05t) - 2700text(e)^(text(-)0,26t)` .

Het totale gewicht aan forellen is maximaal na ongeveer `7,35` maanden.