Exponentiële en logaritmische functies > GroeimodellenVerwerken
De tabel geeft de gemiddelde hoogte aan van de zonnebloemen op een bepaalde akker
op verschillende tijdstippen na het ontkiemen. De gemiddelde maximale hoogte die deze
zonnebloemen bereiken is
`256`
cm.
`t`
is de tijd in weken na het ontkiemen.
`H(t)`
is de gemiddelde hoogte van deze zonnebloemen in cm op tijdstip
`t`
.
| aantal weken | `2 ` | `4 ` | `6 ` | `8 ` | `10` | `12` |
| hoogte in cm | `36 ` | `98 ` | `170` | `228` | `251` | `255` |
Onderzoek of er sprake is van lineaire groei, exponentiële groei, of geen van beide.
Teken de grafiek van de functie:
`F(t) = log((256 - H(t))/(H(t)))`
.
Gebruik de gegevens in de tabel.
Toon aan dat er een eerstegraads functie is die de functie `F` redelijk benadert en geef het bijpassende functievoorschrift.
Leid uit de resultaten van b en c een functievoorschrift van `H` als functie van de tijd af.
Bereken de groeisnelheid van deze zonnebloemen op `t=1` . Waarom is de gemiddelde groei gedurende de tweede week groter?
Bereken de groeisnelheid van deze zonnebloemen op `t=10` . Waarom is de gemiddelde groei gedurende de tiende week kleiner?
Op welke dag na het ontkiemen van de zonnebloemen groeien ze het snelst? Hoe snel groeien de zonnebloemen dan?
In de tabel zie je de meetresultaten van een onderzoek naar het verband tussen de massa `m` van het dier en de energie `E` die het nodig heeft om zich over één kilometer te verplaatsen.
| dier | `m` (gram) | `E` (calorieën) |
| muis | `21` | `270` |
| eekhoorn | `236` | `870` |
| witte rat | `384` | `1,7 *10^3` |
| hond (klein) | `2,6 *10^3` | `4,4 *10^3` |
| hond (groot) | `1,8 *10^4` | `1,7 *10^4` |
| schaap | `3,9 *10^4` | `2,3 *10^4` |
| paard | `5,8 *10^5` | `5,8 *10^5` |
Teken deze gegevens op dubbellogaritmisch grafiekenpapier. Zet `m` uit op de horizontale as en `E` op de verticale as.
Waarom kun je bij benadering aannemen, dat er tussen `m` en `E` een verband van de vorm `E = a*m^b` bestaat?
Bereken passende waarden van `a` en `b` .
Bereken het energieverbruik per km van een kat met een massa van `3,2` kg.
Bij het oogsten van koren wordt vaak gewerkt met een combine, of maaidorser. In zo'n maaidorser wordt in twee etappes gedorst: eerst in de dorstrommel en daarna op de zogenaamde "schudder" , waar het graan (de graankorrels) tijdens het doorlopen van een traject uit het stro wordt geschud. De snelheid waarmee de hoeveelheid graan `G` (in kg) in het stro door het schudden afneemt, is recht evenredig met die hoeveelheid zelf:
`G'(x)=text(-) k*G(x)`
waarin `x` de afstand tot het begin van de schudder in meters is.
Verklaar de formule in de tekst hierboven, met name ook het minteken.
Toon aan dat aan deze formule een functie `G(x)` van de vorm `G(x) = b * text(e)^(text(-)kx)` voldoet. Hierin is `b` de hoeveelheid aan het begin van de schudder.
Ga uit van een schudder met een totale lengte van `6` m. Neem `k = 0,2` . Hoeveel procent van de hoeveelheid graan aan het begin van de schudder is aan het einde nog niet uit het stro geschud?
`k` heet de scheidingsfactor van dit proces van schudden. De scheidingsfactor hangt af van de snelheid `v` (in m/s) van de maaidorser. Er geldt `k = 1/v` .
Verklaar de naam "scheidingsfactor" . Hoeveel procent van het graan wordt niet uit het stro geschud als de maaidorser rijdt met een snelheid van `2` m/s?
Is er een snelheid mogelijk waarbij alle graan uit het stro wordt geschud?
De volgende alinea’s zijn vrij naar een artikel dat in 1991 in een krant stond.
| FAO luidt noodklok |
|
"Elk jaar verdwijnt steeds meer tropisch oerwoud. In 1990 was de afname wel anderhalf
keer zo groot als in 1980. Dit stelt de FAO, de voedsel- en landbouworganisatie van
de Verenigde Naties, in een zondag verschenen rapport met nieuwe gegevens over de
ontbossing van de aarde. 1 − In 1990 verdween in de tropen zeventien miljoen hectare oerwoud. Dit is een gebied even groot als Oostenrijk, Denemarken en Nederland samen. 2 − Er was op 1 januari 1990 nog 2900 miljoen hectare tropisch oerwoud over. 3 − De FAO wijst naar de geïndustrialiseerde landen waar de ontbossing een halt is toegeroepen. Tussen 1 januari 1980 en 1 januari 1985 is de bosoppervlakte in die landen met 5 procent toegenomen tot 2100 miljoen hectare. " |
Een lezer van dit artikel probeert de gegeven informatie in een wiskundig model te verwerken om daarmee te kijken wat de gevolgen zullen zijn als de afname van het tropisch oerwoud op dezelfde wijze blijft voortduren. Zij noemt de oppervlakte aan tropisch oerwoud (in miljoenen hectare) dat op tijdstip `t` nog aanwezig is `y(t)` . Zij neemt `t = 0` op 1 januari 1980 en `t` in jaren.
Leg uit waarom zowel een formule van de vorm `y(t) = a * t + b` als een formule van de vorm `y(t) = a * g^t` niet in overeenstemming is met de gegevens uit het krantenartikel.
De lezer kiest voor een formule van de vorm
`y(t) = b - a * g^t`
.
Uit de in de alinea’s 1, 2 en 3 verstrekte gegevens leidt zij deze waarden af:
`b = 3311`
,
`a = 274`
en
`g = 1,0414`
.
Laat zien dat de formule met die waarden in overeenstemming is met de in de alinea’s 1, 2 en 3 gegeven informatie.
Wanneer de ontbossing op dezelfde wijze blijft voortduren, zal op een gegeven moment minder dan `1000` miljoen hectare tropisch oerwoud overblijven.
Bereken in welk jaar dat volgens de door de lezer gevonden formule zal gebeuren.
Het oorspronkelijke krantenartikel begon met de zin: "De tropische oerwouden verdwijnen anderhalf keer zo snel als 10 jaar geleden."
Onderzoek met behulp van differentiëren of de door de lezer gevonden formule ook hiermee in overeenstemming is.