Exponentiële en logaritmische functies > GroeimodellenVoorbeeld 3
In deze tabel zie je de groei van een aantal fruitvliegjes ( "Drosophila melanogaster" ). De populatie leeft in een afgesloten ruimte met voldoende voedsel. `N` is het aantal fruitvliegjes.
| `t` (dagen) | `0 ` | `4 ` | `8 ` | `12 ` | `16 ` | `20 ` | `24` | `28` | `32` | `36` | `40` | `44` | `48` |
| `N(t)` | `2 ` | `5 ` | `10 ` | `22 ` | `47 ` | `91 ` | `156` | `226` | `282` | `317` | `335` | `343` | `347` |
Nu lijkt er sprake van geremde exponentiële groei. `N(t)` nadert de `350` fruitvliegjes. Stel m.b.v. de tabel een passend geremd exponentieel groeimodel op. Bereken bij welke `t` de groeisnelheid maximaal is.
De bijpassende formule wordt: `N(t) = 350/(1 + b*g^t)` .
De grafiek gaat door
`(0, 2)`
en dit geeft:
`b = 174`
.
De grafiek gaat ook door
`(40, 335)`
en dit geeft:
`g ≈ 0,81`
.
Een passende formule is: `N(t) = 350/(1 + 174 * 0,81^t)` .
De waarde van `t` waarin de groeisnelheid een maximum heeft kun je vinden door de tweede afgeleide te berekenen en dan `N''(t)=0` op te lossen. Je kunt ook gebruik maken van het feit dat die maximale groeisnelheid bereikt wordt als `N = 350/2 = 175` . Je vindt in beide gevallen: `t≈23` dagen.
In
Teken een grafiek van `N(t)` die zo goed mogelijk past bij de gegevens in de tabel.
Gebruik de grenswaarde van `350` fruitvliegjes, de waarde van `N(0 )` en nog een ander geschikt punt van je grafiek om zelf een formule op te stellen voor `N(t)` .
Bereken zelf de waarde van `t` waarin de groeisnelheid van `N` zo groot mogelijk is.
Toon aan dat bij een functie van de vorm `N(t) = G/(1 + b*g^t)` de grootste groeisnelheid optreedt als `N = 1/2 G` .