Exponentiële en logaritmische functies > Integralen
123456Integralen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Bijvoorbeeld:

  • Als `f(x) = text(e)^x` dan is `F(x) = text(e)^x + c` .

  • Als `f(x) = g^x` dan is `F(x) = g^x/(ln(g)) + c` .

Controleer ze door differentiëren.

b

Omdat de afgeleide van `F(x) = ln(x) + c` gelijk is aan `f(x) = F'(x) = 1/x` . Maar dit geldt alleen als `x gt 0` .
De functie `f(x) = 1/x` bestaat echter ook als `x lt 0` . Dan is `F(x) = ln(text(-)x) + c` een geschikte primitieve.

Opgave 1
a

`F'(x) = 1/(ln(g)) * g^x * ln(g) = g^x` .

b

Als `f(x) = text(e)^x` dan is `F(x) = 1/ln(text(e)) * text(e)^x + c = text(e)^x + c` .

c

`int_0^2 h(x) text(d)x = [2x + 0,5text(e)^(2x) * 2]_(0)^(2) = [2x + text(e)^(2x)]_(0)^(2) = 3 + text(e)^4` .

d

De oppervlakte van het gebied begrensd door de grafiek van `h` , de `x` -as en de lijnen `x = 0` en `x = 2` .

Opgave 2
a

`F'(x) = 1/x` als `x > 0` en `F'(x) = 1/x` als `x < 0` .

b

`G(x) = 4 ln|x + 2| + c` .

c

`H(x) = 4 ln|2x + 4| * 1/2 + c = 2 ln|2x + 4| + c` .

Opgave 3
a

`F'(x) = 1 * ln(x) + x * 1/x - 1 = ln(x)` .

b

Gebruik `f(x)= (ln(x))/(ln(g)) = 1/(ln(g)) * ln(x)` . Je vindt dan `F(x) = 1/(ln(g)) * (x ln(x) - x) + c` .

Opgave 4
a

`F(x) = text(e)^(x + 1) + c`

b

`F(x) = 5x + 3/(ln(2)) * 2^(4x) * 1/4 + c = 5x + 3/(4 ln(2)) * 2^(4x) + c`

c

`F(x) = x^2 + ln|x| + c`

d

`F(x) = 1,5 ln(2x + 1) + c`

e

`F(x) = (3x ln(3x) - 3x) * 1/3 + c = x ln(3x) - x + c`

f

`F(x) = 2 text(e)^(text(-)4x) * text(-) 1/4 + c = text(-) 1/(2 text(e)^(4x)) + c`

Opgave 5
a

`int_0^2 3/(3x + 4) text(d)x = [ln|3x + 4|]_0^2 = ln(10) - ln(4)` .

b

`int_0^4 0,5^(2x - 1) text(d)x = [1/(2 ln(0,5)) 0,5^(2x - 1)]_0^(4) = 1/(2 ln(0,5)) 0,5^7 - 1/(2 ln(0,5)) 0,5^(text(-)1)` .

c

`int_1^2 (x^4 + 5x^2)/(x^3) text(d)x = int_1^2 (x + 5/x) text(d)x = [0,5x^2 + 5ln|x|]_1^(2) = 1,5 + 5 ln(2)` .

d

`int_(0,25)^(text(e)) ln(4x) text(d)x = [x ln(4x) - x]_(0,25)^(text(e)) = text(e) ln(4text(e)) - text(e) + 0,25` .

Opgave 6
a

Doen.

b

`int_0^2 text(e)^x text(d)x = [text(e)^x]_(0)^(2) = text(e)^2 - 1` .

c

Het vlakdeel is precies het spiegelbeeld van het vlakdeel waarvan in het voorbeeld de oppervlakte is uitgerekend. Je spiegelt in de lijn `y = x` .

Opgave 7
a

Doen.

b

`int_0^2 pi text(e)^(2x) text(d)x = [1/2 pi text(e)^(2x)]_(0)^(2) = 1/2 pi (text(e)^(4) - 1)` .

c

`pi * 2^2 * text(e)^2 - int_(1)^(text(e)^2) pi ln^2(y) text(d)y ~~ 52,71` .

Opgave 8
a

Doen.

b

`1 + 2 + text(e)^2 + int_0^2 sqrt(1 + text(e)^(2x)) text(d)x ~~ 17,18` .

c

Het vlakdeel is precies het spiegelbeeld van het vlakdeel waarvan in het voorbeeld de omtrek is uitgerekend. Je spiegelt in de lijn `y = x` .

Opgave 9
a

`f(x) = 2 1/2` geeft `x = 1/2 vv x = 2` .
De oppervlakte is `2 1/2 * 1 1/2 - int_(0,5)^2 (x + 1/x) text(d)x = 3 3/4 - [1/2x^2 + ln(x)]_(0,5)^(2) = 1 7/8 - 2ln(2)` .

b

De inhoud is `int_(0,5)^2 pi * (2,5)^2 text(d)x - int_(0,5)^2 pi (x + 1/x)^2 text(d)x =` `[6,25pi x]_(0,5)^(2) - [pi (1/3 x^3 + 2x - 1/x)]_(0,5)^(2) = 2,25pi` .

c

De omtrek is `1 1/2 + int_(0,5)^2 sqrt(1 + (1 - 1/(x^2))^2) text(d)x ~~ 3,40` .

Opgave 10
a

`[1/2 ln|2x + 1|]_(0)^(1) = 1/2 ln(3)` .

b

`[1/(2text(e) + 1) * x^(2text(e) + 1) - 1/2 text(e)^(2x)]_(0)^(1) = 1/(2text(e) + 1) - 1/2 text(e)^2 + 1/2` .

c

`[x ln|4x| - x]_(0,25)^(1) = ln(4) - 0,75` .

d

`[1/2 x + 2 ln|x|]_(1)^(4) = 1,5 + 2 ln(4)` .

e

`[2x + (10)/(ln(10)) * 10^(0,5x)]_(0)^(1) = 2 + (10)/(ln(10))(sqrt(1) - 1)` .

f

`[1/(ln(10)) * (x ln|3x| - x)]_(1)^(2) = 1/(ln(10)) * (2 ln(6) - 1)` .

Opgave 11
a

`F(x) = 0,5text(e)^(text(-)1/2x) + text(e)x + 0,5` .

b

`F(x) = x - 1/(ln(10)) * (x ln|x| - x) - 1 - 1/(ln(10))` .

Opgave 12
a

`opp(V) = int_2^4 1/2x - 2/x text(d)x = [1/4 x^2 - 2ln|x|]_(2)^(4) = 3 - 2 ln(2)` .

b

`l(V) = 2 + 1,5 + int_2^4 sqrt(1 + (1/2 + 2/(x^2))^2) text(d)x ~~ 6,00` .

c

`I(V) = int_2^4 pi(1/2x - 2/x)^2 text(d)x = pi int_2^4 1/4x^2 - 2 + 4/(x^2) text(d)x = pi[1/12 x^3 - 2x - 4/x]_(2)^(4) = 1 2/3 pi` .

Opgave 13
a

Doen, gebruik de quotiëntregel.

b

`opp(V) = int_0^2 g(x) text(d)x = [(2text(e)^x)/(text(e)^x + 1)]_(0)^(2) = (2text(e)^2)/(text(e)^2 + 1) - 1` .

c

`[(2text(e)^x)/(text(e)^x + 1)]_(text(-)a)^(a) = (2text(e)^a)/(text(e)^a + 1) - (2text(e)^(text(-)a))/(text(e)^(text(-)a) + 1)` .
Herleiden: `(2text(e)^a)/(text(e)^a + 1) - (2text(e)^(text(-)a))/(text(e)^(text(-)a) + 1) * (text(e)^a)/(text(e)^a) = (2text(e)^a - 2)/(text(e)^a + 1) = 1` geeft `text(e)^x = 3` en dus `x = ln(3)` .

Opgave 14
a

Differentieer `F(x)` en laat zien dat `F'(x) = f(x)` .

b

`opp(V_1) = [text(-)0,5 text(e)^(text(-)x^2)]_(0)^(2) = 1/2 - 1/(2text(e)^4)` .

c

`opp(V_1) = [text(-)0,5p text(e)^(text(-)x^2)]_(0)^(2) = (1/2 - 1/(2text(e)^4)) * p = 10` geeft `p = (20text(e)^4)/(text(e)^4 - 1)` .

Opgave 15
a

Voer de formule in je GR in en kies venster bijvoorbeeld `[150, 220]xx[0; 0,1]`

b

`~~100*0,112 = 11,2` %.

c

`100 * int_100^220 f(x)text(d)x ~~ 100` %.

d

Nee, van deze functie is geen primitieve te bepalen.

e

Je kunt van niemand weten of hij echt precies `180` cm lang is. Bovendien levert zo'n integraal met dezelfde ondergrens als bovengrens natuurlijk altijd `0` op.

Om dit percentage uit te rekenen moet je bedenken dat iemand van die lengte een werkelijke lengte heeft waarvoor geldt `179,5 le x lt 180,5` . Dus het gevraagde percentage is `100 * int_(179,5)^(180,5) f(x)text(d)x ~~ 5,5` %.

f

`100 * int_(150)^(182) f(x)text(d)x ~~ 50,0` %.

g

`100 * int_(161)^(203) f(x)text(d)x ~~ 99,7` %.

Opgave 16
a

`[2 ln|x| + text(e)^x]_(1)^(2) = 2ln(2) + text(e)^2 - text(e)` .

b

`[x + text(e)^x]_(0)^(1) = text(e)` .

c

`[2ln|2x + 3|]_(1)^(2) = 2ln(1,4)` .

d

`[x - 6 ln|x| - 9/x]_(1)^(2) = 5,5 - 6ln(2)` .

e

`[(x - 1)ln(x - 1) - (x - 1)]_(2)^(4) = 3ln(3) - 2` .

f

`[1/(3ln(2)) * 2^(3x)]_(0)^(2) = (2^6 - 1)/(3ln(2))` .

Opgave 17

`int_0^6 text(e)^(x/3) - 2x + 5 text(d)x - 1/2 * 5 * 2,5 = [3text(e)^(x/3) - x^2 + 5x]_(0)^(6) - 6,25 = 3text(e)^2 - 15,25` .

Opgave 18
a

`f'(x) = 0` geeft `x = 0` . Min. `f(0) = 2` .

b

Oplossing: `ln(2 - sqrt(3)) < x < ln(2 + sqrt(3))` .

c

`8ln(2 + sqrt(3)) - 4sqrt(3)` .

d

`I = pi * 4^2 * 2ln(2 + sqrt(3)) - int_(ln(2 - sqrt(3)))^(ln(2 + sqrt(3))) pi(text(e)^(x) + text(e)^(text(-)x))^2 text(d)x = 32pi ln(2 + sqrt(3)) - [1/2 e^(2x) + 2x - 1/2 e^(text(-)2x)]_(ln(2 - sqrt(3)))^(ln(2 + sqrt(3)))` .

verder | terug