Exponentiële en logaritmische functies > IntegralenUitleg
Uit de afgeleiden van de exponentiële en de logaritmische functies kun je een hele lijst met primitieven samenstellen.
-
Als `f(x) = text(e)^x` dan is `f'(x) = text(e)^x` .
Dus: als `f(x) = text(e)^x` dan is `F(x) = text(e)^x + c` . -
Als `f(x) = g^x` dan is `f′(x) = ln(g)*g^x` .
Dus: als `f(x) = g^x` dan is `F(x) = g^x/(ln(g)) + c` . -
Als `f(x) = ln(x)` dan is `f'(x) = 1/x` (met `x gt 0` ).
Dus: als `f(x) = 1/x` (met `x gt 0` ) dan is `F(x) = ln(x) + c` .
Is echter `x lt 0` dan is `f(x)= text(-) 1/(text(-)x)` .
De primitieve is dan `F(x) = text(-) ln(text(-)x) * text(-)1 + c = ln(text(-)x) + c` .
Dit kun je samenvatten tot: als `f(x) = 1/x` dan is `F(x) = ln(|x|)+c` .
Hierin worden de haakjes van de ln-functie vaak weggelaten!
Moeilijker is het vinden van de primitieve van
`f(x) = ln(x)`
.
Maar je kunt wel bewijzen dat
`F(x) = x ln(x) - x + c`
als afgeleide heeft:
`F'(x) = ln(x)`
.
En dan heb je toch een geschikte primitieve gevonden.
Vervolgens is
`f(x) = \ ^g log(x)`
ook niet moeilijk meer te primitiveren...
Bekijk de
Als `f(x) = g^x` dan is `F(x) = 1/(ln(g)) * g^x + c` . Laat zien dat dit klopt door `F` te differentiëren.
Leid de primitieve van `g(x) = text(e)^x` af uit die van `f(x) = g^x` .
Neem nu de functie `h(x) = 2 + 0,5text(e)^(2x)` .
Bereken `int_0^2 h(x) text(d)x` .
Wat heb je met de integraal uit c uitgerekend?
In de
Laat met behulp van differentiëren zien dat dit juist is.
Welke primitieve heeft `g(x) = 4/(x + 2)` ?
Welke primitieve heeft `h(x) = 4/(2x + 4)` ?
In de
Laat met behulp van differentiëren zien dat dit juist is.
Welke primitieve heeft `f(x) = \ ^glog(x)` ?