Verticale asymptoot `x = 4` .
`text(D)_f = (:4, rarr:)` .

Er is geen snijpunt met de `y` -as.
Het snijpunt met de `x` -as vind je uit `f(x) = text(-)2 ln(x - 4) + 2 = 0` en dit geeft `ln(x - 4) = 1` , dus `x = 4 + text(e)` .
Dus `(4 + text(e), 0))` .

`f'(x) = (text(-)2)/(x - 4)` geeft `f'(4 + text(e)) = (text(-)2)/(text(e))` en dus is de vergelijking van de raaklijn `y = (text(-)2)/(text(e)) * x + 8/(text(e)) + 2` .

`f(x) = 10` geeft `ln(x - 4) = text(-)4` en dus `x = text(e)^(text(-)4) + 4` .
`f(x) = text(-)10` geeft `ln(x - 4) = 6` en dus `x = text(e)^(6) + 4` .
Grafiek: `text(e)^(text(-)4) + 4 < x < text(e)^(6) + 4` .

De exponent van deze functie is altijd kleiner of gelijk aan nul. Daarmee komt de functiewaarde altijd op het volgende interval: `(:0, 1]` .
Je kunt ook `f'(x) = text(-)xtext(e)^(text(-) 1/2x^2) = 0` oplossen.

`f''(x) = (text(-)1 + x^2)text(e)^(text(-) 1/2x^2) = 0` geeft `x = +-1` .
De twee buigpunten zijn `(+-1, text(e)^(text(-)1/2))` .

Maak ze met de grafische rekenmachine: Y1=e^(-0.5x^2) en Y2=(Y1(X+0.0001)-Y1(X))/0.0001.

`f(x) = g(x)` geeft `2^(text(-)x) = 4` en dus `x = text(-)2` .
Grafiek: `x > text(-)2` .

`int_(text(-)2)^0 2^x + 4 - (2^x + 2^(text(-)x)) text(d)x = [4x - (2^(text(-)x))/(ln(2))]_(text(-)2)^(0) = 8 - 5/(ln(2))` .

`|f(p) - g(p)| = 8` geeft `2^(text(-)p) - 4 = 8 vv 4 - 2^(text(-)p) = 8` .
Dit kan alleen als `2^(text(-)p) - 4 = 8` en dus `2^(text(-)p) = 12` , zodat `p = text(-)\ ^2 log(12)` .

`f(x) + g(x) = 2 * 2^x + 2^(text(-)x) + 4 = text(-)2` geeft `2 * (2^x)^2 + 6 * 2^x + 1 = 0` , zodat `2^x = (text(-)4 +- sqrt(28))/4 = text(-)1 +- 1/2 sqrt(7)` . Dit geeft `x = \ ^2 log(text(-)1 + 1/2sqrt(7))` .

`lim_(t rarr oo) text(e)^(text(-)0,31t) = 0` en dus `N(t) rarr 1200` .

Horizontale asymptoot `N = 1200` .

`1200(1 - text(e)^(text(-)0,31t)) = 550` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) = 13/24` zodat `t ~~ 1,97776` en dat is ongeveer `119` minuten.

`v(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t)` en als `t rarr oo` dan gaat `v(t) rarr 0` .
Dat wil niet zeggen dat `N` naar een constante nadert, maar de toenamesnelheid nadert wel naar `0` en dat is in overeenstemming met de conclusie in a.

`N'(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t) > 0` voor elke waarde van `t` .

`t = 1,75` uur en `v(1,75) ~~ 216` leerlingen per minuut.

`v(0) = 372` leerlingen/min en `v(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t) = 186` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) = 0,5` en dus `t ~~ 2,24` . Dat is ongeveer `2` uur en `14` minuten.

Voor functie `f` moet `4 - x^2 > 0` en dit geeft als domein `text(D)_f = (:text(-)2, 2:)` .
Aan de grafiek zie je dat de functie `f` een maximum heeft voor `x = 0` en twee verticale asymptoten bij `x = text(-)2` en `x = 2` , dus: `text(B)_f = (:larr, log(4)]` .
Voor functie `g` moet `3x > 0` , dus `text(D)_f = (:0,rarr:)` .
Verder is dit een functie waarvan de grafiek kan worden gevonden door transformaties uit te voeren op de grafiek van `y = log(x)` . Dus `text(B)_f = RR` .

`f(x) = g(x)` geeft `4 - x^2 = 3x` en dus `x = 1 vv x = text(-)4` .
Grafieken: `text(-)2 < x ≤ 1` .

`S(1, log(3))` en `f'(x) = (text(-)2x)/((4 - x^2)ln(10))` en `g'(x) = 1/(x ln(10))` .
`f'(1) = (text(-)2)/(3ln(10)) = tan(alpha)` geeft `alpha ~~ text(-)16,1^@` .
`g'(1) = (1)/(ln(10)) = tan(beta)` geeft `beta ~~ 23,5^@` .
De hoek tussen beide raaklijnen is ongeveer `40` °.

Vanwege de ln-functie moet `x > 0` .
Verder moet `1 + ln^2(x) != 0` , maar dat is voor elke `x > 0` het geval. Dus `text(D)_f = (:0, rarr:)` .

`f(x) = 0` geeft `4 ln(x) = 0` en dus `x = 1` . Nulpunt `(1,0)` .
`f'(x) = (4 - 4ln^2(x))/(x(1 + ln^2(x))^2) = 0` geeft `4 - 4ln^2(x) = 0` en dus `ln^2(x) = 1` .
Dit geeft `x = text(e) vv x = 1/(text(e))` .
Met de grafiek vind je min. `f(1/(text(e))) = text(-)2` en max. `f(text(e)) = 2` .

`f(x) = 1` geeft `4ln(x) = 1 + ln^2(x)` en dus `ln^2(x) - 4ln(x) + 1 = 0` , zodat `ln(x) = (4 +- sqrt(12))/2 = 2 +- sqrt(3)` .
Dit geeft `x = text(e)^(2 +- sqrt(3))` . Met de grafiek: `0 < text(e)^(2 - sqrt(3)) vv x > text(e)^(2 + sqrt(3))` .

`f(text(e)^2) = 1,6` en `f'(text(e)^2) = (text(-)2,4)/(text(e)^2)` .
De raaklijn heeft vergelijking `y = (text(-)2,4)/(text(e)^2) * x + 4` .
Dus `B(0, 4)` en `A(5/3 text(e)^2, 0)` en de lengte van `AB` is `sqrt(16 + 25/9 text(e)^4)` .

`f_1(x) * f_(text(-)1)(x) = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = k` geeft `x^2 = 1 + k` .
Er zijn geen oplossingen voor `x` als `1 + k < 0` en dus `k < text(-)1` .

`f'_p(x) = (text(-)px^2 + (p^2 + 2)x - p)text(e)^(text(-)px)` en `f''_p(x) = (p^2x^2 - (p^3 + 4p)x + 2p^2 + 2)text(e)^(text(-)px)` .
Voor de gevraagde buigpunten moet `f_p(x) = 0 ^^ f"_p(x) = 0` .
`f_p(x) = 0` geeft `x = 0 vv x = p` .
`f''_p(0) = 2p^2 + 2 = 0` heeft geen oplossingen.
`f''_p(p) = (text(-)2p^2 + 2)text(e)^(text(-)p^2) = 0` geeft `p = +-1` .

`f'_p(x) = (text(-)px^2 + (p^2 + 2)x - p)text(e)^(text(-)px) = 0` geeft `x = (text(-)p^2 - 2 +- sqrt(p^4 + 4))/(text(-)2p)` . Nu nog even invullen...

Voor 1985 geldt `t = 0` , er zijn dan `0,5` miljoen schollen ouder dan 1 jaar. Het aantal schollen ouder dan 1 jaar is telkens `0,67` deel van dat van het voorgaande jaar plus `0,5` mln larven die hun eerste jaar hebben overleefd. Dus in de jaren 1986, 1987, ..., 1995 worden dat er: `0,83` ; `1,06` ; `1,20` ; `1,30` ; `1,36` ; ... miljoen.

Dit wordt een steeds langzamer stijgende grafiek. Het aantal schollen ouder dan 1 jaar nadert steeds langzamer de `1,50` miljoen.

`G = 1,50` .
Gebruik nu `S(0) = 0,50` en (bijvoorbeeld) `S(4) = 1,30` en je vindt: `S(t) ~~ 1,50 - 1,00 * text(e)^(text(-)0,40t)` .

Het aantal vissen dat sterft als gevolg van de visserij is `23` % van het aantal aanwezige vissen. Er van uitgaande dat larven te klein zijn voor bevissing zou dit betekenen dat het deel van de schollen ouder dan 1 jaar dat jaarlijks overleeft `0,67 * 0,77 ~~ 0,52` wordt.

Eigen antwoord.

`T(t) = 10 + 10 * 0,9982^t` geeft `15`  °C na `385` minuten en `19,5`  °C na `28,5` minuten.

`T'(0) = text(-)0,018`  °C/min en `T'(60) = text(-)0,016`  °C/min.

`T(t) = 35 - 15,5 * 0,9982^t` geeft `T'(t) ~~ 0,0279 * 0,9982^t > 0` voor elke `t` .

`20`  °C na `18,2` minuten.

`T(t) = 10 + 10,5 * 0,9982^t` geeft `19,5`  °C na `55,6` min.
`T(t) = 35 - 15,5 * 0,9982^t` geeft `20,5`  °C na `37,0` min.
De periode is `92,6` minuten, dus CV brandt gedurende `40` % van de periode.

De CV gaat uit bij `20,25`  °C en de CV gaat aan bij `19,75`  °C.
`T(t) = 10 + 10,25 * 0,9982^t` geeft `19,75`  °C na `27,8` min.
`T(t) = 35 - 15,25 * 0,9982^t` geeft `20,25`  °C na `18,5` min.
De periode is `46,3` minuten, dus CV brandt gedurende `40` % van de periode.

De CV gaat uit bij `20,5`  °C en de CV gaat aan bij `19,5`  °C.
`T(t) = 3 + 17,5 * 0,9982^t` geeft `19,5`  °C na `32,7` min.
`T(t) = 28 - 8,5 * 0,9982^t` geeft `20,5`  °C na `69,5` min.
De periode is `102,2` minuten, dus CV brandt gedurende `68` % van de periode.
De CV gaat uit bij `20,25`  °C en de CV gaat aan bij `19,75`  °C.
`T(t) = 3 + 17,25 * 0,9982^t` geeft `19,5`  °C na `16,3` min.
`T(t) = 28 - 8,25 * 0,9982^t` geeft `20,5`  °C na `34,7` min.
De periode is `51,0` minuten, dus CV brandt gedurende `68` % van de periode.

Vast percentage "overblijvers" , dus constante groeifactor.

`M = 0,05` : `(0; 0,05)` op verticale as.
`G = 0,21` : de richtingscoëfficiënt van de lijn is `log(text(e)^(0,21))` .

`m = 0,05 text(e)^(0,21x)` , de grafiek past bij de formule.

`m(10) ~~ 0,41` dus zo'n `59` tienjarigen.

`M ~~ 0,09` . Exponentiële groei tussen `(0;0,09)` en `(10;0,38)` , zodat `G ~~ 0,14` .

Dit volgt uit `text(e)^(Gx) = 2` .

Kalkoen: `SCVT = 3,3` .
Spreeuw: `SCVT = 5,0` .

Kalkoen: `S(t) = 100(1 - 0,05text(e)^(0,21x))` .
Spreeuw: `S(t) = 100(1 - 0,05text(e)^(0,14x))` .
Eerste grafiek eerder op nul, deze grafiek daalt in begin iets minder sterk, daarna sterkere daling. Meer "vergrijzing" bij de spreeuwen.

`log(10A) = log(A) + log(10) = log(A) + 1` .

De aardbeving in Chili was `10^(3,3) ~~ 1995` keer zo sterk.

Vergelijkbaar bewijs als in a.

`D = 152,7^@` dus ongeveer `17text(.)000` km.

`8,8 = log(A/T) + 1,66 * log(D) + 3,30` geeft `log(A/T * D^(1,66)) = 5,5` en dus `A/T * D^(1,66) = 10^(5,5)` zodat `D = 2057 * (T/A)^(0,60)` .
`p ~~ 2057` en `q ~~ 0,60` .

`C(t) = 0,035` geeft `t ~~ 0,3469 vv t ~~ 6,0715` (met de GR). Het medicijn is 5 uur en 43 minuten (of 343 minuten) werkzaam.

`C'(t) = 0,12 * 1 * text(e)^(-0,5t) + 0,12 * t * text(-)0,5 * text(e)^(text(-)0,5t)` en dan herleiden naar de juiste formule.

`C''(t) = 0,12 * (0,25t - 1) * text(e)^(text(-)0,5t) = 0` geeft `t = 4` .

Het hoogste maximum is het maximum op `[18, 24]` van `C(t) + C(t - 6) + C(t - 12) + C(t - 18)` .
Dit maximum kun je met de GR vergelijken met `0,11` . Je concludeert dat de concentratie op `[18, 24]` niet boven de `0,11` (mg/cm³) komt.

`log(1) = 0` , dus `0 = 4,146 - 1144/(T - 53,15)` oplossen. Dit geeft `T ~~ 329` kelvin.

Als `T` toeneemt, neemt `T - 53,15` toe. Omdat `T gt 53,15` neemt `1144/(T-53,15)` af.
Hiermee neemt `log(P) = 4,146 - 1144/(T - 53,15)` weer toe.
Als `log(P)` toeneemt, neemt `P` ook toe.

`P = 10^(4,146-1144/(T-53,15))` differentiëren geeft `(text(d)P)/(text(d)T) = 10^(4,146-1144/(T-53,15)) * ln(10) * 1144/((T - 53,15)^2)`

`T = 293` invullen geeft het antwoord `~~0,011` (bar/kelvin).

Substitueer `P = p/750` en `T = t + 273,15` in de eerste vergelijking en herleid:

Dit geeft `a = 4,146 + log(750) ~~ 7,02` en `b ~~ 220` .

`ln(x) = 1/2` geeft `x = e^(1/2) = sqrt(e)` . Uit de grafiek blijkt: `0 lt x le e^(1/2)`

`f'(x) = 1/x` , zodat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in `E` gelijk is aan `f’(text(e)) = 1/(text(e))` .
De raaklijn in `E(text(e), 1)` heeft de vergelijking `y = 1/(text(e)) x + b` .
Er geldt: `1/(text(e))*text(e) + b = 1` geeft `b = 0` , dus de raaklijn gaat door `O` .

`opp = int_0^(text(e)) 1/(text(e)) x text(d)x - int_1^(text(e)) ln(x) text(d)x = [1/(2text(e)) x^2]_0^(text(e)) - [x ln(x) - x]_1^(text(e)) = 1/2 text(e) - 1` .

De rechthoek bevindt zich voor `0 lt x lt 1` onder de `x` -as. `f(x)` is voor die waarden negatief. Voor de oppervlakte van de rechthoek geldt daarom `opp = x*text(-)f(x) = x*text(-)ln(x) = text(-)xln(x)` .
De afgeleide hiervan is `(text(d)opp)/(text(d)x) = text(-)1*ln(x) - x*1/x = text(-)ln(x) - 1` .
`text(-)ln(x) - 1 = 0` geeft `x = text(e)^(text(-)1) = 1/(text(e))` .
De maximale oppervlakte is `opp_(text(max)) = text(-)1/(text(e))*ln (1/(text(e))) = text(-)1/(text(e))*text(-)ln(text(e)) = 1/(text(e))` .