Exponentiële en logaritmische functies > TotaalbeeldExamenopgaven
Aardbevingen worden geregistreerd met een seismograaf, die aardbevingsgolven weergeeft in een seismogram. Verspreid over de aarde staan veel seismografen opgesteld. De uitwijking van een seismograaf hangt af van de afstand van dit instrument tot de plaats aan de oppervlakte van de aarde waar de beving het eerst optreedt. Deze plaats noemt men het epicentrum van de aardbeving. Om aardbevingen met elkaar te kunnen vergelijken gebruikt men seismogrammen die op een afstand van `100` km van het epicentrum zijn gemaakt (standaard seismogrammen). De kracht van een aardbeving wordt meestal uitgedrukt in een getal op de schaal van Richter. Bij deze schaal wordt de logaritme (met grondtal `10` ) gebruikt van de grootste uitwijking in micrometer die in het seismogram voorkomt.
Leg uit, dat de kracht op de schaal van Richter met `1` toeneemt als de maximale uitwijking van de seismograaf `10` keer zo groot wordt.
De aardbeving in Nederland van 13 april 1992 had een kracht van `5,5` op de schaal van Richter. De kracht van de aardbeving op 27 februari 2010 in Chili was `8,8` .
Bereken de verhouding tussen deze twee grootste uitwijkingen.
Als op een bepaald waarnemingsstation een seismogram gemaakt is en je weet de plaats van het epicentrum, dan kun je met de volgende formule de kracht van de aardbeving berekenen:
`R = log(A/T) + 1,66 * log(D) + 3,30`
Hierin is:
-
`R` de kracht van de aardbeving uitgedrukt in een getal op de schaal van Richter;
-
`A` de grootste uitwijking in het seismogram in µm ( `1` µm `= 0,001` mm);
-
`T` de tijd in seconden van de trilling met de grootste uitwijking;
-
`D` de grootte in graden van de hoek tussen de verbindingslijnstukken `ME` en `MW` , waarin `M` het middelpunt van de aarde, `E` het epicentrum van de aardbeving en `W` de plaats van het waarnemingsstation is.
Uit de formule volgt inderdaad dat de kracht op de schaal van Richter met `1` toeneemt als de maximale uitslag van de seismograaf `10` keer zo groot wordt (bij dezelfde `T` en `D` ).
Toon dit aan.
Van de Chileense aardbeving van 2010 werd een seismogram opgenomen. De trillingen gaven daar een maximale uitslag van `1500` µm; de trillingstijd `T` bedroeg `20` s. Na invulling van `D` werd `R = 8,8` gevonden. Neem aan dat de omtrek van de aarde `40.000` km is.
Bereken de afstand over de aardbol tussen de plaats waar het seismogram werd opgenomen en het epicentrum in Chili in honderden kilometers nauwkeurig.
Ook op diverse andere plaatsen werd in 2010 een seismogram van de Chileense aardbeving opgenomen. Op al die plaatsen berekende men dat de kracht van de aardbeving `8,8` was.
Toon aan dat hieruit volgt dat tussen `A` , `T` en `D` een verband bestaat van de vorm: `D = p * (T/A)^q` en bereken `p` en `q` in twee decimalen nauwkeurig.
(bron: examen wiskunde B havo 1994, eerste tijdvak, aangepast)
Als een patiënt een dosis van een medicijn toegediend krijgt, zal de concentratie van dit medicijn in het bloed eerst toenemen en daarna afnemen. Van een bepaald medicijn wordt de concentratie `C` (in mg/cm3) in het bloed gegeven door de formule:
`C(t) = 0,12 * t * text(e)^(text(-)0,5t)`
Hierbij is
`t`
het aantal uren na het toedienen van één dosis van het medicijn.
Van dit medicijn is bekend dat het werkzaam is zolang
`C`
groter is dan
`0,035`
mg/cm3.
De tijd dat het medicijn werkzaam is bij één keer toedienen is minder dan
`6`
uur.
Bereken in minuten nauwkeurig hoe lang het medicijn in dit geval werkzaam is.
Er geldt: `C'(t) = 0,12(1 - 0,5t)text(e)^(text(-)0,5t)` .
Toon dit aan.
Er is een tijdstip waarop de concentratie het sterkst afneemt.
Bereken dit tijdstip.
Het medicijn wordt in gelijke doses toegediend met tussenpozen van 6 uur. Omdat 6 uur na de eerste keer toedienen van het medicijn een tweede dosis wordt toegediend, geldt vanaf `t = 6` tot `t = 12` de volgende formule voor de concentratie `C^(text(*))` (in mg/cm3) van het medicijn in het bloed:
`C^(text(*))(t) = C(t) + C(t - 6)`
Bij elke nieuwe dosis verandert de formule voor de concentratie van het medicijn in het bloed. In elke periode van `6` uur heeft de concentratie van het medicijn in het bloed een maximale waarde. De maximale waarde wordt in elke volgende periode van `6` uur iets groter. Het medicijn kan schadelijke gevolgen hebben als de concentratie boven de `0,11` mg/cm3 komt.
Onderzoek of dit het geval is binnen 24 uur na het begin van het toedienen van het medicijn.
(bron: examen wiskunde B vwo 2007, tweede tijdvak)
Als een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de gesloten ruimte: de dampdruk. De grootte van de dampdruk hangt af van de soort vloeistof en van de temperatuur in de gesloten ruimte. Voor het verband tussen de dampdruk en de temperatuur geldt de volgende formule:
`log(P) = k - m/(T - n)` (met `T gt n` )
Hierin is
`P`
de dampdruk in bar en
`T`
de temperatuur in kelvin en zijn
`k`
,
`m`
en
`n`
constanten die afhangen van de soort vloeistof.
Voor aceton, een zeer vluchtige vloeistof, geldt (bij benadering)
`k = 4,146`
,
`m = 1144`
en
`n = 53,15`
, dus
`log(P) = 4,146 - 1144/(T - 53,15)`
(met
`T gt 53,15`
).
Het kookpunt van een vloeistof is de temperatuur waarbij de dampdruk precies `1` bar bedraagt.
Bereken op algebraïsche wijze het kookpunt van aceton. Rond je antwoord af op een geheel aantal kelvin.
In de figuur is voor aceton de grafiek getekend van de dampdruk `P` als functie van de temperatuur `T` voor temperaturen tussen `250` en `300` kelvin.
Uit de figuur krijgen we de indruk dat de functie `P` stijgend is. Beredeneer aan de hand van de formule zonder te differentiëren dat de functie inderdaad stijgend is.
Hoe de dampdruk bij een bepaalde temperatuur reageert op een verandering van die temperatuur, wordt weergegeven door de afgeleide waarde `(text(d)P)/(text(d)T)` (in bar/kelvin).
Bereken voor aceton de waarde van `(text(d)P)/(text(d)T)` bij een kamertemperatuur van `293` kelvin. Rond je antwoord af op drie decimalen.
Voor andere stoffen dan aceton gelden soortgelijke formules; alleen de waarden van `k` , `m` en `n` zijn anders. De vorm van de formule is universeel en staat sinds 1888 bekend als de vergelijking van Antoine. In de tijd dat Antoine de vergelijking opstelde, gebruikte men voor de dampdruk nog de eenheid mmHg (millimeter kwik) in plaats van bar. Voor de temperatuur gebruikte men de eenheid °C (graden Celsius) in plaats van kelvin.
Voor het verband tussen de dampdruk
`p`
in mm Hg en de dampdruk
`P`
in bar geldt:
`P = p/750`
Voor het verband tussen de temperatuur
`t`
in °C en de temperatuur
`T`
in kelvin geldt:
`T = t + 273,15`
.
De eerder genoemde formule voor de dampdruk van aceton kan men herschrijven tot een
formule van de vorm:
`log(p) = a - 1144/(t + b)`
.
Hierin is
`p`
de dampdruk in mmHg, is
`t`
de temperatuur in °C en zijn
`a`
en
`b`
constanten.
Bereken `a` en `b` . Rond de waarde van `a` af op twee decimalen en rond de waarde van `b` af op een geheel getal.
(bron: examen wiskunde B vwo 2013, eerste tijdvak)
De functie `f` is gegeven door `f (x) = ln(x)` . Je ziet hier twee keer de grafiek van `f` .
|
|
|
Bereken exact voor welke waarden van `x` geldt: `f(x) le 1/2` .
Het punt
`E(text(e), 1)`
ligt op de grafiek van
`f`
.
De raaklijn in
`E`
aan de grafiek van
`f`
gaat door
`O`
.
Toon dit aan.
Bereken exact de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door lijnstuk `OE` , de `x` -as en de grafiek van `f` .
Voor elke waarde van
`x`
met
`0 lt x lt 1`
ligt het punt
`P(x, ln(x))`
op de grafiek van
`f`
.
Er zijn rechthoeken waarvan twee zijden op de assen liggen en waarvan
`P`
een hoekpunt is. Er is een waarde van
`x`
waarvoor de oppervlakte van de rechthoek maximaal is.
Bereken langs algebraïsche weg de exacte waarde van die maximale oppervlakte.
(bron: wiskunde B examen vwo 2008, eerste tijdvak)