Gegeven de functie
`f`
met voorschrift
`f(x)=sin(1/x)`
.
Is deze functie periodiek?
Bepaal de nulpunten en de asymptoten van deze functie.
Omdat de standaard sinusfunctie een periode van `2 π` heeft en een vorm als `1/x` juist voor `x = 0` niet bestaat, bekijk je de grafiek op `[text(-) π, π]` . Je krijgt dan op `[text(-) π, π] xx [text(-) 2, 2]` deze grafiek. In de buurt van `x = 0` is erg onduidelijk hoe de grafiek er uit ziet, inzoomen laat zien dat er steeds meer en steeds smallere "golfjes" ontstaan als je dichter bij `0` komt. Periodiek is hij in ieder geval niet...
Nulwaarden:
`sin(1/x) = 0`
geeft
`1/x = 0 + k*π`
en dus
`x = 1/(k*π)`
.
De positieve nulwaarden zijn
`1/π`
,
`1/(2π)`
,
`1/(3π)`
,
`1/(4π)`
, enz.
Deze komen steeds dichter bij
`0`
te liggen en ook steeds dichter bij elkaar.
Voor de negatieve nulwaarden geldt iets vergelijkbaars.
Er is bij
`x = 0`
geen verticale asymptoot omdat een sinus altijd binnen
`[text(-)1 , 1 ]`
blijft.
Wel is er een horizontale asymptoot: als
`x`
heel groot (of heel groot negatief) wordt, dan nadert
`1/x`
naar
`0`
en dus nadert ook
`f(x)`
naar
`0`
.
De horizontale asymptoot is
`y = 0`
.
Bekijk eerst
Maak de grafiek van `f` op `[0, 1000]` .
Los op: `f(x) = 1` .
Hoe kun je aan de antwoorden bij b zien dat dit geen periodieke functie is?