Goniometrische functies > Goniometrische formules
123456Goniometrische formules

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Bekijk de figuur. De `x` -waarden van `P` en `P′` blijven gelijk ook als `α` verandert.

b

`sin(text(-) α)=text(-) sin(α)`

c

Ja, bijvoorbeeld `tan(text(-) α)=text(-) tan(α)` en `sin(π-α)=sin(α)` . En nog veel meer...

d

`sin^2(α)+ cos^2(α)=1`

Opgave 1
a

Maak zelf geschikte figuren, eenheidscirkels met zowel `alpha` als `text(-) alpha` . Bij de formule voor `tan(alpha)` maak je gebruik van `tan(alpha) = (sin(alpha))/(cos(alpha))` .

b

Teken een eenheidscirkel met de hoeken `alpha` en `1/2 pi - alpha` .

c

Teken een eenheidscirkel met de hoeken `alpha` , `alpha + 1/2 pi` en `alpha - 1/2 pi` .

Opgave 2
a

Je krijgt de grafiek `y=1` , dus je maakt zo aannemelijk dat `sin^2(x)+ cos^2(x)=1` .

De afleiding is een ander verhaal, daarbij pas je in `Delta OQP` de stelling van Pythagoras toe. Immers `|OP| = 1` .

b

Probeer beide situaties uit, het blijkt geen verschil te maken.

Opgave 3
a

`sin(alpha - beta) = sin(alpha + text(-)beta) = sin(alpha) cos(text(-)beta) + cos(alpha) sin(text(-)beta) = sin(alpha) cos(beta) - cos(alpha) sin(beta)` .

b

`cos(alpha + beta) = sin(alpha + beta + 1/2 pi) = sin(alpha + 1/2pi) cos(beta) + cos(alpha + 1/2 pi) sin(beta) = cos(alpha) cos(beta) - sin(alpha) sin(beta)` .

c

`cos(alpha - beta) = cos(alpha) cos(text(-)beta) - sin(alpha) sin(text(-)beta) = cos(alpha) cos(beta) + sin(alpha) sin(beta)` .

d

Gebruik `tan(alpha + beta) = (sin(alpha + beta))/(cos(alpha + beta))` en deel dan teller en noemer door `cos(alpha) cos(beta)` . Je krijgt `tan(alpha + beta) = (tan(alpha) + tan(beta))/(1 - tan(alpha) tan(beta))` .

Opgave 4

`sin(p) + sin(q) = sin(alpha + beta) + sin(alpha - beta) =`
`= sin(alpha)cos(beta) + cos(alpha)sin(beta) + sin(alpha)cos(beta) - cos(alpha)sin(beta) = 2sin(alpha)cos(beta) = 2 sin(1/2(p+q)) cos(1/2(p-q))` , want `alpha = 1/2(p+q)` en `beta = 1/2(p-q)` .

Opgave 5
a

Elke sinusoïde heeft de vorm `y = a sin(b(x - c)) + d` of `y = a cos(b(x - c)) + d` . De grafiek is dan een sinusgrafiek waarop één of meer van de bekende vier transformaties is toegepast.

b

`sqrt2 cos(x - 1/4 pi) = 1` geeft `cos(x - 1/4 pi) = 1/2sqrt2 = cos(1/4 pi)` en dus `x = 1/2 pi + k*2pi vv x = 0 + k*2pi` .

c

Je kunt dan gemakkelijk zo'n vergelijking als bij b oplossen. Ook kun je gemakkelijker toppen en nulpunten vinden.

Opgave 6

Gebruik weer de formules van Simpson.
`sin(x) + sin(x - 1/6 pi) = 2 sin(1/2(2x - 1/6 pi)) cos(1/2(1/6 pi)) = 2 cos(1/12 pi) * sin(x - 1/12 pi)` .
Omdat `A = 2 cos(1/12 pi)` een constante is, is dit een sinusoïde met amplitude `A` .

Opgave 7
a

Neem `cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)` en vul in `cos^2(x) = 1 - sin^2(x)` en je krijgt `cos(2x) = 1 - 2 sin^2(x)` . Neem `cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)` en vul in `sin^2(x) = 1 - cos^2(x)` en je krijgt `cos(2x) = 2 cos^2(x) - 1` .

b

Doen.

c

`sin(4x) = 2 sin(2x)cos(2x) = 2 sin(x)cos(x)(1 - 2 sin^2(x)) = 2 sin(x)cos(x) - 4 sin^3(x)cos(x)`

Opgave 8
a

Uit symmetrie in de eenheidscirkel volgt `sin(x) = sin(pi - x)` . Dat wordt gebruikt bij de tweede methode in de tweede stap.

b

Bij de eerste methode wordt de formule voor `sin(2x)` gebruikt.

Opgave 9

`sin(2x) - cos(x) = 0` geeft `2 sin(x) cos(x) - cos(x) = 0` en dus `cos(x) (2 sin(x) - 1) = 0` . En dat geeft op `[0,2pi]` als oplossing: `x = 1/2 pi vv x = 1 1/2 pi vv x = 1/6 pi vv x = 5/6 pi` . De ongelijkheid heeft als oplossing: `1/6 pi < x < 1/2 pi vv 5/6 pi < x < 1 1/2 pi` .

Opgave 10
a

Doen.

b

`cos(x) = 0 vv cos(x) = 1` heeft op `[text(-)2pi,2pi]` als oplossing `x = +-1 1/2 pi vv x = +- 1/2 pi vv x = +- 2pi vv x = 0` .

c

`text(-)2pi < x < text(-)1 1/2 pi vv 1/2 pi < x < 0 vv 0 < x < 1/2 pi vv 1 1/2 pi < x < 2pi`

Opgave 11
a

`f(x) = cos(x) - cos(x + 1/4 pi) = -2 sin(1/2(2x + 1/4pi)) sin(1/2(text(-)1/4pi)) = 2 sin(1/8pi) * cos(x + 1/8pi)` .

b

Toppen als `cos(x + 1/8pi) = +-1` , dus als `x + 1/8pi = 0 + k*2pi vv x + 1/8 pi = pi + k*2pi` .
De toppen zijn `(text(-)1/8 pi + k * 2pi, 2 sin(1/8pi))` en `(7/8 pi + k * 2pi, text(-)2 sin(1/8pi))` .
Nulpunten als `x + 1/8 pi = 1/2 pi + k*pi` . De nulpunten zijn dus `(3/8pi + k*pi, 0)` .

c

`f(x) = 1/2` geeft `cos(x + 1/8pi) = 1/(4 sin(1/8pi)) ~~ 0,653` . Op `[0, 2pi]` vind je `x ~~ 0,32 vv x ~~ 2,04` . De ongelijkheid heeft dan als oplossing `0,32 ≤ x < 2,04` .

Opgave 12
a

`(1,57; 0)` , `(2,09; 0)` , `(4,19; 0)` en `(5,65; 0)` .

b

Gebruik `sin^2(x) = 1 - cos^2(x)` en je vindt de gewenste uitdrukking.

c

`text(-)cos^2(x) - 1/2 cos(x) = 0` geeft `text(-)cos(x)(cos(x) + 1/2) = 0` en dus `cos(x) = 0 vv cos(x) = text(-)0,5` . Je vindt: `(1/2pi, 0)` , `(2/3pi, 0)` , `(4/3pi, 0)` en `(3/2pi, 0)` .

d

`text(-)cos^2(x) - 1/2 cos(x) = text(-) 1/2` los je op met de abc-formule. Je vindt `x = +-1/3pi + k*2pi vv x = +-pi + k*2pi` . De oplossing van de ongelijkheid wordt: `1/3pi < x < pi vv pi < x < 5/3 pi` .

Opgave 13
a

`f(x) = 0` geeft `tan(x) = 8sin(x)` en dus `(sin(x))/(cos(x)) = 8sin(x)` zodat `sin(x)(1 - 8cos(x)) = 0` . Dit geeft `x = k*pi vv x ~~ 1,45 + k*2pi` . Op het gegeven interval zijn de nulpunten: `(text(-)pi, 0)` , `(text(-)1,45; 0)` , `(0, 0)` , `(1,45; 0)` en `(pi, 0)` .

b

De toppen zijn ongeveer `(text(-)1,05; 0,65)` en `(1,05; text(-)0,65)` .

c

`x = +- 1/2 pi` .

d

`f(x) = 1/2 sin(x)` geeft `tan(x) = 4 sin(x)` en dus `(sin(x))/(cos(x)) = 4sin(x)` zodat `sin(x)(1 - 4cos(x)) = 0` . Dit geeft de volgende oplossing: `x = text(-)pi vv x ~~ text(-)1,48 vv x = 0 vv x ~~ 1,48 vv x = pi` .
Oplossing ongelijkheid: `text(-)pi ≤ x < text(-) 1/2pi vv text(-)1,48 ≤ x ≤ 1,48 vv 1/2pi < x ≤ pi` .

Opgave 14
a

`sin(x + 2/3 pi) + sin(x) = 2 sin(x + 1/3pi) cos(1/3 pi) = sin(x + 1/3pi) = 1/2` geeft `x = - 1/6pi + k*2pi vv x = 1/2 pi + k*2pi` .

b

`x + 1/3 pi = +-x + k*2pi` geeft `x = 5/6pi + k*pi` .

c

`cos^2(x) + sin(x) = 1` geeft `-sin^2(x) + sin(x) = 0` ofwel `sin(x)(sin(x) - 1) = 0` en dus `sin(x) = 0 vv sin(x) = 1` . Dus `x = k*pi vv x = 1/2pi + k*2pi` .

d

`2 sin^2(x) - (1 - 2sin^2(x)) = 0` geeft `sin^2(x) = 0,25` ofwel `sin(x) = +-1/2` . Dus `x = 1/6pi + k*2pi vv x = 5/6 pi + k*2pi` .

e

`2 (1 - sin^2(x)) - 2 sin(x) = 0` geeft `2 sin^2(x) + 2 sin(x) - 2 = 0` en dus `sin(x) ~~ text(-)0,618 vv sin(x) ~~ 1,618` . Hieruit volgt `x ~~ 0,66 + k*2pi vv x ~~ 2,23 + k*2pi` .

f

`(sin(x))/(cos(x)) = sin(x)` geeft `sin(x) = 0 vv cos(x) = 1` zodat `x = k*pi` .

Opgave 15
a

Breng `S(x)` op je rekenmachine in beeld, venster bijvoorbeeld `[0, 2pi]xx[text(-)1,5; 1,5]` .

b

Gebruik de formules van Simpson en je vindt `S(x) = sqrt2 sin(x)` .

c

`sqrt2 sin(x) = 1` geeft `x = 1/4 pi + k*2pi vv x = 3/4pi + k*2pi` .
Oplossing ongelijkheid: `1/4 pi ≤ x ≤ 3/4 pi + k*2pi` .

Opgave 16
a

`y_3 = sin(2x + 1/4 pi) - sin(2x) - 1/2 = 2 sin(1/8pi) cos(2x + 1/8 pi) - 1/2 ~~ 0,77cos(2x + 0,125pi) - 0,5` .

b

Nulpunten: `(text(-)2,92;0)` , `(text(-)0,63;0)` , `(0,23;0)` en `(2,51;0)` .
Toppen: `(text(-)2,12;1)` , `(1,02;text(-)1)` , `(0,16;1)` en `(3,30;text(-)1)` .

c

`text(-)pi ≤ x ≤ text(-)2,92 vv text(-)0,63 ≤ x ≤ 0,23 vv 2,51 ≤ x ≤ pi`

Opgave 17
a

`sin(x) = cos(x)` geeft `tan(x) = 1` en dus `x = 1/4pi + k*pi` .

b

`sin(2x) = cos(x)` geeft `cos(x)(2sin(x) - 1) = 0` en dus `cos(x) = 0 vv sin(x) = 0,5` zodat `x = 1/2 pi + k*pi vv x = 1/6pi + k*2pi vv x = 5/6pi + k*2pi` .

c

`1 - 2 sin^2(x) = sin^2(x)` geeft `sin^2(x) = 1/3` en dus `sin(x) = +- 1/3sqrt3` .
Dit geeft `x ~~ 0,628 + k*2pi vv x ~~ 2,513 + k*2pi vv x ~~ 3,770 + k*2pi vv x ~~ 5,655 + k*2pi` .

d

`cos(x + 1/6 pi) + sin(x - 1/6 pi) = sin(1/3pi - x) + sin(x - 1/6pi) = 2 sin(1/12 pi) cos(x - 1/12pi) = 1/2` geeft `cos(x - 1/12pi) ~~ 0,966` . Dus `x - 1/12pi ~~ +-0,262 + k*2pi` zodat `x ~~ 0,524 + k*2pi vv x ~~ 1,047 + k*2pi` .

verder | terug