Maak zelf geschikte figuren, eenheidscirkels met zowel `alpha` als `text(-) alpha` . Bij de formule voor `tan(alpha)` maak je gebruik van `tan(alpha) = (sin(alpha))/(cos(alpha))` .

Teken een eenheidscirkel met de hoeken `alpha` en `1/2 pi - alpha` .

Teken een eenheidscirkel met de hoeken `alpha` , `alpha + 1/2 pi` en `alpha - 1/2 pi` .

Je krijgt de grafiek `y = 1` , dus je maakt zo aannemelijk dat `sin^2(x) + cos^2(x) = 1` .

De afleiding is een ander verhaal, daarbij pas je in `Delta OQP` de stelling van Pythagoras toe. Immers `|OP| = 1` .

Probeer beide situaties uit, het blijkt geen verschil te maken.

`sin(alpha - beta) = sin(alpha + text(-)beta) = sin(alpha) cos(text(-)beta) + cos(alpha) sin(text(-)beta) =` ` sin(alpha) cos(beta) - cos(alpha) sin(beta)` .

`cos(alpha + beta) = sin(alpha + beta + 1/2 pi) = sin(alpha + 1/2pi) cos(beta) + cos(alpha + 1/2 pi) sin(beta) =` ` cos(alpha) cos(beta) - sin(alpha) sin(beta)` .

`cos(alpha - beta) = cos(alpha) cos(text(-)beta) - sin(alpha) sin(text(-)beta) = cos(alpha) cos(beta) + sin(alpha) sin(beta)` .

Gebruik `tan(alpha + beta) = (sin(alpha + beta))/(cos(alpha + beta))` en deel dan teller en noemer door `cos(alpha) cos(beta)` . Je krijgt `tan(alpha + beta) = (tan(alpha) + tan(beta))/(1 - tan(alpha) tan(beta))` .

Elke sinusoïde heeft de vorm `y = a sin(b(x - c)) + d` of `y = a cos(b(x - c)) + d` . De grafiek is dan een sinusgrafiek waarop één of meer van de bekende vier transformaties is toegepast.

`sqrt2 cos(x - 1/4 pi) = 1` geeft `cos(x - 1/4 pi) = 1/2sqrt(2) = cos(1/4 pi)` en dus `x = 1/2 pi + k*2pi vv x = 0 + k*2pi` .

Je kunt dan gemakkelijk een vergelijking als bij b oplossen. Ook kun je gemakkelijker toppen en nulpunten vinden.

Neem `cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)` en vul in `cos^2(x) = 1 - sin^2(x)` en je krijgt `cos(2x) = 1 - 2 sin^2(x)` . Neem `cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)` en vul in `sin^2(x) = 1 - cos^2(x)` en je krijgt `cos(2x) = 2 cos^2(x) - 1` .

Vul de formules voor `sin(2x)` en `cos(2x)` in.

`sin(2x) = 2 sin(x)` geeft `2sin(x)cos(x) - 2 sin(x)=0` , zodat `2sin(x)(cos(x) - 1) = 0` .
Dit geeft `sin(x) = 0 vv cos(x) = 1` en dus `x = k*pi` .

Uit symmetrie in de eenheidscirkel volgt `sin(x) = sin(pi - x)` . Dat wordt gebruikt bij de tweede methode in de tweede stap.

Bij de eerste methode wordt de formule voor `sin(2x)` gebruikt, al meteen bij de eerste stap.

Zoek eerst een formule waarmee je `cos(2x)` omrekent naar iets met `cos(x)` .

`2 cos^2(x) - 2 cos(x) = 2cos(x)(cos(x) - 1) = 0` , dus `cos(x) = 0 vv cos(x) = 1` .

Op `[text(-)2pi,2pi]` is de oplossing `x = +-1 1/2 pi vv x = +- 1/2 pi vv x = +- 2pi vv x = 0` .

`text(-)2pi lt x lt text(-)1 1/2 pi vv text(-)1/2 pi lt x lt 0 vv 0 lt x lt 1/2 pi vv 1 1/2 pi lt x lt 2pi`

`f(x) = cos(x) - cos(x + 1/4 pi) = text(-)2 sin(1/2(2x + 1/4pi)) sin(1/2(text(-)1/4pi)) =` ` 2 sin(1/8pi) * sin(x + 1/8pi)` .

Toppen als `sin(x + 1/8pi) = +-1` , dus als `x + 1/8pi = 1/2 pi + k*2pi vv x + 1/8 pi = 1 1/2 pi + k*2pi` .
De toppen zijn `(3/8 pi + k * 2pi, 2 sin(1/8pi))` en `(1 3/8 pi + k * 2pi, text(-)2 sin(1/8pi))` .
Nulpunten als `x + 1/8 pi = 0 + k*pi` . De nulpunten zijn dus `(text(-)1/8pi + k*pi, 0)` .

`f(x) = 1/2` geeft `sin(x + 1/8pi) = 1/(4 sin(1/8pi)) ~~ 0,653` .
Op `[0, 2pi]` vind je `x ~~ 0,32 vv x ~~ 2,04` .
De ongelijkheid heeft dan als oplossing `0,32 ≤ x < 2,04` .

`(1,57; 0)` , `(2,09; 0)` , `(4,19; 0)` en `(4,71; 0)` .

Gebruik `sin^2(x) = 1 - cos^2(x)` en je vindt de gewenste uitdrukking.

`text(-)cos^2(x) - 1/2 cos(x) = 0` geeft `text(-)cos(x)(cos(x) + 1/2) = 0` en dus `cos(x) = 0 vv cos(x) = text(-)0,5` . Je vindt: `(1/2 pi, 0)` , `(2/3 pi, 0)` , `(4/3 pi, 0)` en `(3/2 pi, 0)` .

`text(-)cos^2(x) - 1/2 cos(x) = text(-) 1/2` los je op met de abc-formule.
Je vindt `x = +-1/3pi + k*2pi vv x = +-pi + k*2pi` .
De oplossing van de ongelijkheid wordt: `1/3pi < x < pi vv pi < x < 5/3 pi` .

`f(x) = 0` geeft `tan(x) = 8sin(x)` en dus `(sin(x))/(cos(x)) = 8sin(x)` zodat `sin(x)(1 - 8cos(x)) = 0` . Dit geeft `x = k*pi vv x ~~ 1,45 + k*2pi` . Op het gegeven interval zijn de nulpunten: `(0, 0)` , `(1,45; 0)` , `(pi, 0)` , `(4,84; 0)` en `(2pi, 0)` .

De toppen zijn ongeveer `(1,05; text(-)0,65)` en `(5,24; 0,65)` .

`x = 1/2 pi` en `x = 1 1/2 pi` .

`f(x) = 1/2 sin(x)` geeft `tan(x) = 12 sin(x)` en dus `(sin(x))/(cos(x)) = 12sin(x)` zodat `sin(x)(1 - 12cos(x)) = 0` . Dit geeft de volgende oplossing: `x = 0 vv x ~~ 1,49 vv x = pi vv x ~~ 4,80 vv x = 2pi` .
Oplossing ongelijkheid: `x = 0 vv 1,49 le x lt 1/2 pi vv pi le x lt 1 1/2 pi vv 4,80 le x le 2pi` .

`sin(x + 2/3 pi) + sin(x) = 2 sin(x + 1/3 pi) cos(1/3 pi) = sin(x + 1/3 pi) = 1/2` geeft `x = text(-) 1/6 pi + k*2pi vv x = 1/2 pi + k*2pi` .

`x + 1/3 pi = +-x + k*2pi` geeft `x = 5/6 pi + k*pi` .

`cos^2(x) + sin(x) = 1` geeft `text(-)sin^2(x) + sin(x) = 0` ofwel `sin(x)(sin(x) - 1) = 0` en dus `sin(x) = 0 vv sin(x) = 1` . Dus `x = k*pi vv x = 1/2 pi + k*2pi` .

`2 sin^2(x) - (1 - 2sin^2(x)) = 0` geeft `sin^2(x) = 0,25` ofwel `sin(x) = +-1/2` . Dus `x = +-1/6 pi + k*2pi vv x = +-5/6 pi + k*2pi` of korter `x = 1/6 pi + k*pi vv x = 5/6 pi + k*pi` .

`2 (1 - sin^2(x)) - 2 sin(x) = 0` geeft `2 sin^2(x) + 2 sin(x) - 2 = 0` en dus `sin(x) ~~ 0,618 vv sin(x) ~~ text(-)1,618` . Hieruit volgt `x ~~ 0,666 + k*2pi vv x ~~ 2,475 + k*2pi` .

`(sin(x))/(cos(x)) = sin(x)` geeft `sin(x) = 0 vv cos(x) = 1` zodat `x = k*pi` .

Breng `S(x)` op je rekenmachine in beeld, venster bijvoorbeeld `[0, 2pi]xx[text(-)1,5; 1,5]` .

Gebruik de formules van Simpson en je vindt `S(x) = sqrt(2) sin(x)` .

`sqrt(2) sin(x) = 1` geeft `x = 1/4 pi + k*2pi vv x = 3/4pi + k*2pi` .
Oplossing ongelijkheid: `1/4 pi ≤ x ≤ 3/4 pi + k*2pi` .

Gebruik `sin(α + β) = sin(α)*cos(β) + cos(α)*sin(β)` met `alpha = 2x` en `beta = x` .

Dat geeft `sin(3x) = sin(2x)cos(x) + cos(2x)*sin(x)` .

Pas nu de verdubbelingsformules toe:

`sin(3x) = 2sin(x)cos^2(x) + (1-2sin^2(x))sin(x) = ` `2sin(x)(1-sin^2(x)) + sin(x) - 2sin^3(x)`

Hieruit volgt: `sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)` .

Gebruik `cos(α+β) = cos(α)*cos(β) - sin(α)*sin(β)` met `alpha = 2x` en `beta = x` en werk net zoals bij a.

Gebruik `tan(alpha + beta) = (tan(alpha) + tan(beta))/(1 - tan(alpha) tan(beta))` , zie Opgave 3.

Hiermee is `tan(3x) = tan(x + 2x) = (tan(x) + tan(2x))/(1 - tan(x) tan(2x))` .
In Voorbeeld 2 heb je gevonden dat `tan(2x) = (2 tan(x))/(1 - tan^2(x))` .
Vul dit in en je vindt `tan(3x) = (tan(x) + (2 tan(x))/(1 - tan^2(x)))/(1 - tan(x)*(2 tan(x))/(1 - tan^2(x)))` .
Vermenigvuldig teller en noemer met `1 - tan^2(x)` en je vindt de gegeven formule.

`y_3 ~~ 0,77cos(2x + 0,125pi) - 0,5` .

Nulpunten: `(text(-)2,92; 0)` , `(text(-)0,63; 0)` , `(0,23; 0)` en `(2,51; 0)` .
Toppen: `(text(-)2,12; 1)` , `(1,02; text(-)1)` , `(0,16; 1)` en `(3,30; text(-)1)` .

`text(-)pi ≤ x ≤ text(-)2,92 vv text(-)0,63 ≤ x ≤ 0,23 vv 2,51 ≤ x ≤ pi`

`x = 1/4pi + k*pi` .

`x = 1/2 pi + k*pi vv x = 1/6pi + k*2pi vv x = 5/6pi + k*2pi` .

`x ~~ 0,628 + k*2pi vv x ~~ 2,513 + k*2pi vv x ~~ 3,770 + k*2pi vv x ~~ 5,655 + k*2pi` .

`x - 1/12pi ~~ +-0,262 + k*2pi` zodat `x ~~ 0,524 + k*2pi vv x ~~ 1,047 + k*2pi` .