Goniometrische functies > Goniometrische formulesVoorbeeld 2
Leid de verdubbelingsformules af uit de somformules.
Stel ook een vergelijkbare formule op voor
`tan(2x)`
.
Neem
`sin(α + β) = sin(α)*cos(β) + cos(α)*sin(β)`
.
Kies
`α = x`
en
`β = x`
.
Je vindt:
`sin(2x) = sin(x)cos(x) + sin(x)cos(x) = 2 sin(x)cos(x)`
.
Neem
`cos(α + β) = cos(α)*cos(β) - sin(α)*sin(β)`
.
Kies
`α = x`
en
`β = x`
.
Je vindt:
`cos(2x) = cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x) = cos^2(x)- sin^2(x)`
.
Met behulp van
`sin^2(α)+ cos^2(α) = 1`
kun je de twee andere formules voor
`cos(2 x)`
uit de voorgaande afleiden.
`tan(2x)= (sin(2x))/(cos(2x)) = (2 sin(x)cos(x))/(cos^2(x)- sin^2(x))`
.
Deel je nu teller en noemer van deze breuk door
`cos^2(x)`
, dan krijg je:
`tan(2x) = (2 tan(x))/(1 - tan^2(x))`
.
In
Leid alle drie de formules voor
`cos(2x)`
af die ook in de
Leid zelf de formule voor `tan(2x)` af.
Als het goed is, vraag je jezelf af wat het nut van dergelijke formules is. Wel, soms zijn ze handig, bijvoorbeeld om een goniometrische vergelijking op te lossen.
Los algebraïsch op: `sin(2x) = 2 sin(x)` .