Goniometrische functies > Goniometrische formules
123456Goniometrische formules

Voorbeeld 3

Los op `[text(-) π, π]` op: `sin(2 x)-sin(x) < 0` .

> antwoord

Maak eerst de grafiek van `f` op `[text(-) π, π]` .

Vervolgens los je op: `sin(2 x)-sin(x)=0` .
Dit kun je op twee manieren doen:

  • Je gebruikt `sin(2 x)=2 sin(x)cos(x)` .
    Dan krijg je `2 sin(x)cos(x)-sin(x)=0` .
    Ontbinden geeft: `sin(x)(2 cos(x)-1 )=0` .
    En zo vind je: `sin(x)=0 ∨cos(x)=0,5` .
    Oplossingen: `x= text(-) π ∨ x= text(-) 1/3π∨x=0 ∨x=1/3π∨x=π` .

  • Je kunt ook meteen de vergelijking schrijven als `sin(2 x)=sin(x)` .
    Dan vind je: `2 x=x+k*2 π∨2 x=π-x+k*2 π` .
    Dit geeft: `x=0 +k*2 π∨3 x=π+k*2 π` en dus `x=k*2 π∨x=1/3π+k*2 π` . Dit geeft op `[text(-) π, π]` dezelfde vijf oplossingen.

De oplossing van de ongelijkheid wordt: `text(-) 1/3π < x < 0 ∨1/3π < x < π` .

Opgave 8

In Voorbeeld 3 wordt de vergelijking `sin(2x) - sin(x) = 0` op twee manieren opgelost.

a

Bij welke van beide manieren wordt gebruik gemaakt van symmetrie? Bij welke stap in de oplossing?

b

Bij de andere methode wordt een verdubbelingsformule gebruikt. Bij welke stap in de oplossing?

Opgave 9

Los algebraïsch op in `[0,2pi]` : `sin(2x) - cos(x) > 0` . Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

verder | terug