Goniometrische functies > Goniometrische formules
123456Goniometrische formules

Voorbeeld 4

Gegeven is op `[text(-)2 π, 2 π]` de functie `f` met `f(x)=cos(2 x)-2 cos(x)` .
Bereken de nulpunten van deze functie en los op: `f(x)= text(-)1` .

> antwoord

Voor de nulpunten moet je oplossen `f(x)=cos(2 x)-2 cos(x)=0` .
Hierbij maak je gebruik van `cos(2 x)=2 cos^2(x)-1` .
De vergelijking wordt dan: `2 cos^2(x)-1 -2 cos(x)=0` .
Schrijf je dit als `2 cos^2(x)-2 cos(x)-1 =0` , dan krijg je een kwadratische vergelijking in `cos(x)` . Die kun je oplossen met de abc-formule:
`cos(x)= (2 ±sqrt(2^2-4 *2 *-1 )) / (2 *2) = (2 ±sqrt(12 )) /4=1/2±1/2sqrt(3 )` .
Nu zijn benaderingen nodig, bijvoorbeeld in twee decimalen nauwkeurig:
`cos(x)≈1,366 ∨cos(x)≈text(-)0,366` .
Alleen `cos(x)≈text(-)0,366` heeft oplossingen, namelijk
`x≈arccos(text(-)0,366 )+k*2 π∨x≈text(-) arccos(text(-)0,366 )+k*2 π` .
Er zijn dus twee series nulpunten: `(1,95 +k*2 π, 0 )` en `(text(-)1,95 +k*2 π, 0 )` .

De vergelijking `f(x)=cos(2 x)-2 cos(x)=-1` geeft op dezelfde manier:
`2 (cos) ^2(x)-1 -2 cos(x)=text(-)1` en dus `2 cos^2(x)-2 cos(x)=0` .
Ontbinden is nu mogelijk: `2 cos(x)(cos(x)-1 )=0` .
Je vindt daarom: `cos(x)=0 ∨cos(x)=1` .
En daarvan kun je gemakkelijk alle antwoorden opschrijven...

Opgave 10

In Voorbeeld 4 wordt de functie `f(x) = cos(2x) - 2 cos(x)` bekeken.

a

Voer de berekening van de nulpunten van de grafiek van `f` zelf uit.

b

Maak de oplossing van `f(x) = text(-)1` verder af.

c

Los in `[0,2pi]` op: `f(x) < text(-)1` .

verder | terug