Goniometrische functies > Goniometrische formules
123456Goniometrische formules

Uitleg

Met behulp van de figuur hiernaast kun je de zogenaamde somformules afleiden. Je ziet hoe hier de hoeken `α` en `β` "op elkaar gestapeld" zijn. Het is de bedoeling om `sin(α+β)` uit te drukken in `sin(α)` , `sin(β)` , `cos(α)` en `cos(β)` met behulp van rechthoek `OQCD` en de rechthoekige `∆OPR` . Dit gaat alleen zolang `α+β` tussen `0` en `0,5 π` blijft. Alle andere situaties moet je met behulp van de symmetrieformules en de eenheidscirkel tot deze herleiden!

Ga na, dat `sin(α+β)= (QC) / (OR)` .
Ga ook na, dat `sin(α)= (QP) / (OP)` , `cos(α)= (PC) / (PR)` , `sin(β)= (PR) / (OR)` en `sin(β)= (OP) / (OR)` .
Dan is:
`sin(α)*cos(β)+cos(α)*sin(β)= (QP) / (OP) * (OP) / (OR) + (PC) / (PR) * (PR) / (OR) = (QP) / (OR) + (PC) / (OR) = (QC) / (OR) =sin(α+β)` .

Hiermee heb je afgeleid: `sin(α+β)=sin(α)*cos(β)+cos(α)*sin(β)` .
Met behulp van de symmetrieformules kun je hier dan weer varianten op maken.
En daarbij maak je de verdubbelingsformules en de formules van Simpson...

Opgave 3

In de Uitleg 2 wordt de formule `sin(alpha + beta) = sin(alpha)cos(beta) + cos(alpha)sin(beta)` afgeleid. Hieruit kun je formules afleiden voor `sin(alpha - beta)` , `cos(alpha + beta)` en `cos(alpha - beta)` . Je ziet al die formules in de Theorie .

a

Leid eerst de formule voor `sin(alpha - beta)` af. Gebruik de symmetrieformules.

b

Leid nu de formule voor `cos(alpha + beta)` af. Gebruik daarbij formules die `sin` omzetten in `cos` en omgekeerd.

c

Uit de formule bij b kun je een formule voor `cos(alpha - beta)` afleiden. Laat zien hoe.

d

Leid een formule af voor `tan(alpha + beta)` . Zorg er voor dat er alleen de `tan` in voorkomt.

Opgave 4

In de Uitleg 2 worden ook de formules van Simpson genoemd. Eén van die formules is `sin(p) + sin(q) = 2 sin(1/2(p+q)) cos(1/2(p-q))` . Deze formule kun je afleiden uit de formules voor `sin(alpha + beta)` en `sin(alpha - beta)` .

Probeer dat zelf te doen, neem `alpha + beta = p` en `alpha - beta = q` .

verder | terug