Goniometrische functies > Goniometrische formulesUitleg
Met behulp van de figuur kun je de zogenaamde somformules afleiden. Je ziet hoe hier de hoeken `α` en `β` "op elkaar gestapeld" zijn. Het is de bedoeling om `sin(α + β)` uit te drukken in `sin(α)` , `sin(β)` , `cos(α)` en `cos(β)` met behulp van rechthoek `OQCD` en de rechthoekige `∆OPR` . Dit gaat alleen zolang `α+β` tussen `0` en `0,5π` blijft. Alle andere situaties moet je met behulp van de symmetrieformules en de eenheidscirkel tot deze herleiden!
Ga na, dat
`sin(α + β) = (QC)/(OR)`
.
Ga ook na, dat
`sin(α) = (QP)/(OP)`
,
`cos(α) = (PC)/(PR)`
,
`sin(β) = (PR)/(OR)`
en
`cos(β) = (OP)/(OR)`
.
Dan is:
`sin(α)*cos(β) + cos(α)*sin(β) = (QP)/(OP) * (OP)/(OR) + (PC)/(PR) * (PR)/(OR) =`
`(QP)/(OR) + (PC)/(OR) = (QC)/(OR) = sin(α + β)`
.
Hiermee heb je afgeleid:
`sin(α + β) = sin(α)*cos(β) + cos(α)*sin(β)`
.
Met behulp van de symmetrieformules kun je hier dan weer varianten op maken.
En daarbij maak je de verdubbelingsformules en de formules van Simpson...
In
Leid eerst de formule voor `sin(alpha - beta)` af. Gebruik de symmetrieformules.
Leid nu de formule voor `cos(alpha + beta)` af. Gebruik daarbij formules die `sin` omzetten in `cos` en omgekeerd.
Uit de formule bij b kun je een formule voor `cos(alpha - beta)` afleiden. Laat zien hoe.
Leid een formule af voor `tan(alpha + beta)` . Zorg er voor dat er alleen de `tan` in voorkomt.
In
Eén van die formules is
`sin(p) + sin(q) = 2 sin(1/2(p+q)) cos(1/2(p-q))`
.
Deze formule kun je afleiden uit de formules voor
`sin(alpha + beta)`
en
`sin(alpha - beta)`
.
Probeer dat zelf te doen, neem `alpha + beta = p` en `alpha - beta = q` .