`f'(x) = cos(x)` zo lijkt het.
Voer bij Y1 de functie `f` en bijvoorbeeld Y2=(Y1(X+0.0001)-Y1(X))/0.0001 als benadering van de afgeleide in. Kies als venster bijvoorbeeld `[text(-)8, 8] xx [text(-)2, 2]` .
`f'(x) = cos(x)` . (Maar dat weet je pas zeker na een echt bewijs.)
Licht vooral toe waarom uit `sin(1/2 h) ≈ 1/2 h` en `cos(x + 1/2 h) ≈ cos(x)` het bewijs volgt.
Je kent de kettingregel, dus `g'(x) = text(-)cos(1/2 pi - x) = text(-)sin(x)` .
`f(x) = (sin(x))/(cos(x))` en dus `f'(x) = (cos(x) * cos(x) - sin(x) * text(-)sin(x))/(cos^2(x)) = 1/(cos^2(x))` .
`f'(x) = 2 cos(x)`
`f'(x) = 2cos(2x)`
`f'(x) = 2 sin(x) cos(x)`
`f'(x) = 2x sin(x) + x^2 cos(x)`
`f'(x) = text(-)8 sin(2x) - 2 cos(2x)`
`f'(x) = text(-)2 cos(x) sin(x) - 3 sin(x)`
`f'(x) = 3/(cos^2(3x))`
`f'(x) = cos^2(x) - sin^2(x)`
`f'(x) = 8800pi cos(440pi x)` en raaklijn `y = 8800pi x` .
`f'(x) = cos(x) - x sin(x)` en `y = x` .
`f'(x) = 2x cos(3x) - 3x^2 sin(3x)` en `y = 0` .
`f'(x) = (tan(1/2 x))/(cos^2(1/2 x))` en `y = 0` .
`f'(x) = 2 sin(x) cos(x) - 2 cos(x) sin(x) = 0`
Met `f(x) = sin^2(x) + cos^(x) = 1` .
Evenwichtsstand `y = (3,05 + 3,15)/2 = 3,10` , amplitude `A = 0,05` , periode `60/40 = 1,5` en horizontale verschuiving `t = 0` .
De grafiek is dan zo steil mogelijk en loopt naar beneden.
Ga na, dat je hetzelfde resultaat krijgt als in het voorbeeld.
De grootste snelheid van inademen zit bijvoorbeeld bij
`t = 3/4 * 1,5 = 1,125`
.
Dan is de snelheid van inademen
`V'(1,125) ~~ 0,209`
.
`f(x) = sin^2(x) + sin(x)` en `f'(x) = 2 sin(x) cos(x) + cos(x) = 0` geeft `cos(x) = 0 vv sin(x) = text(-)0,5` en dit geeft `x = 1/2 pi vv x = 1 1/2 pi vv x = 1 1/6 pi vv x = 1 5/6 pi` . De extremen zijn max. `f(1/2 pi) = 2` , min. `f(1 1/6 pi) = text(-)0,25` , max. `f(1 1/2 pi) = 0` en min. `f(1 5/6 pi) = text(-)0,25` .
`f'((pi)/2) = 2 sin((pi)/2) cos((pi)/2) - p cos((pi)/2) = 0` en dit klopt voor elke `p` .
Er zijn twee situaties om te bekijken: Als `0 < p < 2` , dan is het grootste maximum `f(1,5pi) = 1 + p` en het kleinste maximum `f(0,5pi) = 1 - p` en dus moet `1 + p = 2(1 - p)` . Dit geeft `3p = 1` en dus `p = 1/3` . Als `text(-)2 < p < 0` , dan is het kleinste maximum `f(1,5pi) = 1 + p` en het grootste maximum `f(0,5pi) = 1 - p` en dus moet `2(1 + p) = 1 - p` . Dit geeft `text(-)3p = 1` en dus `p = text(-)1/3` .
`f'(0) = text(-)2` geeft met `f'(x) = a/(cos^2(ax))` de vergelijking `a/1 = text(-)2` en dus `a = text(-)2` .
`f_1'(x) = text(-)2 sin(x) cos(x) = 0`
geeft
`x = k * pi vv x = 1/2 pi + k * pi`
.
De toppen zijn
`(k * pi, 1)`
en
`(1/2 pi + k * pi, 0)`
.
`f_2'(x) = 8 cos(2x - 0,25pi) = 0`
geeft
`x = 0,375 pi + k * pi vv x = text(-)0,125 pi + k * pi`
.
De toppen zijn
`(0,375 pi + k * pi; 14)`
en
`(0,875 pi + k * pi; 6)`
.
`f_3'(x) = text(-)2 sin(x) cos(x) - sin(x) = 0`
geeft
`x = k * pi vv x = +- 2/3 pi + k * 2pi`
.
De toppen zijn
`(k * 2pi, 2)`
,
`(pi + k * 2pi, 0)`
,
`(2/3 pi + k * 2pi; text(-)0,25)`
en
`(text(-)2/3 pi + k * 2pi; text(-)0,25)`
.
`f_4'(x) = 1/(1 + cos(x)) = 0` heeft geen oplossingen.
`f'(x) = 2 sin(x) cos(x) + sqrt(3) sin(x) = 0` geeft `sin(x) = 0 vv cos(x) = text(-)1/2 sqrt(3)` , dus `x = 0 vv x = 5/6 pi vv x = pi vv x = 7/6 pi vv x = 2pi` . Dus min. `f(0) = text(-)sqrt(3) - 1` , max. `f(5/6 pi) = 3/4` , min. `f(pi) = sqrt(3) - 1` , max. `f(7/6 pi) = 3/4` en max. `f(2pi) = text(-)sqrt(3) - 1` .
`f''(x) = 2 cos^2(x) - 2 sin^2(x) + sqrt(3) cos(x) = 0` geeft `4 cos^2(x) + sqrt(3) cos(x) - 2 = 0` en `cos(x) = (text(-)sqrt(3) +- sqrt(35))/8` . Dit betekent `cos(x) ~~ 0,523 vv cos(x) ~~ text(-)0,956` zodat `x ~~ 1,02 vv x ~~ 2,84 vv x ~~ 3,43 vv x ~~ 5,26` . Deze waarden moet je nog in `f` invullen voor de buigpunten.
`f'(x) = 1/(8 cos^2(x)) - cos(x) = 0` geeft `cos^3(x) = 1/8` en dus `cos(x) = 1/2` , zodat `x = +- 1/3 pi + k * 2pi` . Dus min. `f(1/3 pi) = text(-) 3/8 sqrt(3)` en max. `f(1 2/3 pi) = 3/8 sqrt(3)` .
`f''(x) = (sin(x))/(4 cos^3(x)) + sin(x)`
en
`f''(0) = 0`
.
`f'(0) = text(-) 7/8`
en
`f(0) = 0`
en dus is de raaklijn
`y = text(-) 7/8 x`
.
`f(x) = 2 + cos(x) - cos^2(x) = 2`
geeft
`cos(x)(1 - cos(x)) = 0`
en dus
`cos(x) = 0 vv cos(x) = 1`
.
Dit geeft
`x = 0 vv x = 1/2 pi vv x = 1 1/2 pi vv x = 2pi`
.
`f''(x) = text(-) sin(x) + 2 cos(x) sin(x) = 0`
geeft
`sin(x) = 1 vv cos(x) = 1/2`
en dus
`x = 1/3 pi vv x = 1/2 pi vv x = 1 2/3 pi`
.
Je vindt max.
`f(1/3 pi) = f(1 2/3 pi) = 2,25`
en min.
`f(pi) = 0`
.
Bekijk de grafiek op de GR.
De lijn
`y = p`
loopt horizontaal en mag de grafiek maar in twee punten snijden. Dat doet hij als
`0 < p < 2 vv p = 2,25`
.
De periode is `1/60` minuut. Er gaan dus `60` ademhalingen in een minuut.
De evenwichtsstand is `3,1` . De periode `1/60` . De amplitude is `0,05` . Er is geen verschuiving. Dit levert de sinusoïde `V(t) = 3,1 + 0,05 sin(120pi t)` .
`V'(t) = 6pi cos(120pi t)` , dus `V'(7/480) = 6pi cos(7/4 pi) ~~ 13,33` L/minuut.
`f(x) = 0`
geeft
`sin(x) = cos(x)`
en dus
`x = 1/4 pi vv x = 5/4 pi`
. De nulpunten zijn
`(1/4 pi,0)`
en
`(5/4 pi, 0)`
.
`f'(x) = (cos(x) + sin(x) + 1)/((sin(x) + 1)^2) = 0`
geeft
`cos(x) + sin(x) + 1 = 0`
en
`sin(x + 1/2pi) + sin(x) + 1 = 0`
. Met de formules van Simpson krijg je
`sqrt(2) sin(x + 1/4 pi) = text(-)1`
en dus
`sin(x + 1/4 pi) = text(-) 1/2 sqrt(2)`
zodat
`x = pi vv x = 1,5pi`
. De laatste oplossing vervalt omdat deze waarde ook een nulwaarde van de noemer is.
De top is
`(pi, 1)`
.
Het snijpunt met de `y` -as is het punt `(0, text(-)1)` . De afgeleide heeft daar een waarde `f'(0) = 2` . De vergelijking van de gevraagde lijn is `y = 2x - 1` .
De vergelijking `f(x) = 1/2` geeft `x ~~ 1,570 vv x ~~ 3,785` . De lengte van het lijnstuk is dus `2,22` .
Loodrecht snijdende lijnen, daarvan is het product van de richtingscoëfficiënten
gelijk aan
`text(-)1`
. De gegeven lijn snijdt de grafiek van
`f`
in een punt waarin de raaklijn aan
`f`
richtingscoëfficiënt
`0,5`
heeft. Dus je zoekt het punt waarvoor
`f'(x) = 0,5`
.
Dit geeft:
`(cos(x) + sin(x) + 1)/((sin(x) + 1)^2) = 0,5`
.
Deze vergelijking kun je schrijven als
`0,5 sin^2(x) - cos(x) - 0,5 = 0`
ofwel
`0,5 cos^2(x) + cos(x) = 0`
en dus
`cos(x) = 0 vv cos(x) = text(-)2`
. En dat geeft
`x = 0,5pi vv x = 1,5pi`
. Alleen
`x = 0,5pi`
voldoet, dus je krijgt het punt
`(0,5pi; 0,5)`
en
`a = pi + 0,5`
.
`y = 1/2 x + 4` . Neem als venster bijvoorbeeld `[0, 2pi]xx[text(-)2, 10]` .
`f'(x) = 0,5 + 2 cos(x) = 0`
als
`cos(x) = text(-)0,25`
.
Dit geeft de toppen
`(1,82; 6,85)`
en
`(4,46; 4,29)`
.
Nee die vallen niet samen, want deze grafiek is een sinus die slingert om een stijgende lijn, terwijl de standaardsinus slingert om een horizontale lijn.
Nulpunten:
`x ~~ text(-) 4,05 vv x ~~ text(-) 2,24 vv x ~~ 2,24 vv x ~~ 4,05`
.
Toppen:
`(+-2 pi, 1)`
,
`(+- pi, text(-)1)`
,
`(+- 1/3 pi; 1,25)`
en
`(+- 5/3 pi; 1,25)`
.
`text(-)2pi < x < text(-)1,5pi vv text(-)0,5pi < x < 0 vv 0 < x < 0,5pi vv 1,5pi < x < 2pi` .
Je krijgt max. `f(2/3 pi) = 2/3 pi + sqrt3` en min. `f(4/3 pi) = 4/3 pi - sqrt3` .
In
`(0,5pi; 0,5pi + 2)`
is de raaklijn
`y = x + 2`
.
In
`(1,5pi; 1,5pi - 2)`
is de raaklijn
`y = x - 2`
.
`text(-)1 ≤ a ≤ 3`
De maximale waarde is `l(2,80) ~~ 0,84` .