Goniometrische functies > Goniometrische functies differentiërenVoorbeeld 3
Je ziet hier de grafiek van een functie `f` van de vorm `f(x)= sin^2(x) - p sin(x)` . Hierin kun je parameter `p` nog variëren. Het domein van deze functie is `[0, 2 π]` . Als `p=1` heeft de grafiek van `f` vier extremen.
Voor welke waarden van `p` heeft de grafiek van `f` vier extremen?
`f'(x) = 2 sin(x)cos(x) - p cos(x) = 0`
geeft:
`cos(x)(2 sin(x) - p) = 0`
en dus:
`cos(x) = 0 ∨ sin(x) = 0,5p`
.
Op
`[0, 2π]`
heeft
`cos(x) = 0`
twee oplossingen.
Dan moet dit ook gelden voor
`sin(x) = 0,5 p`
.
Dit betekent
`text(-)1 < 0,5 p < 1`
en
`p ≠ 0`
.
Dus moet
`text(-)2 < p < 2`
en
`p ≠ 0`
.
Bekijk de familie van functies met vier extremen in
Neem `p = text(-)1` en bereken alle vier de extremen van deze functie.
Laat zien dat de grafiek van `f` een voor elke `p` een top in `A((pi)/2,f((pi)/2))` heeft.
Er zijn twee waarden van `p` , waarvoor het grootste maximum tweemaal zo groot is als het kleinste maximum. Bereken die waarden van `p` .
Gegeven de functie `f(x) = tan(ax)` . Voor welke `a` is de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 0` evenwijdig met de lijn `2x + y = 6` ?