Goniometrische functies > Goniometrische functies differentiëren
123456Goniometrische functies differentiëren

Uitleg

Het differentiëren van functies waarin sinus en/of cosinus voorkomen is gebaseerd op:

  • De afgeleide van `f(x) = sin(x)` is `f′(x) = cos(x)` .

  • De afgeleide van `f(x) = cos(x)` is `f′(x) = text(-)sin(x)` .

In de applet wordt dit voor `f(x) = sin(x)` aannemelijk gemaakt. Je ziet hierin dat de afgeleide van `f` gelijk is aan `f'(x) = cos(x)` .
Maar echt zeker weet je dit pas als je hebt aangetoond dat

`f'(x) = lim_(h rarr 0) (sin(x + h) - sin(x))/h = cos(x)`

Nu volgt uit de formules van Simpson dat `sin(x + h) - sin(x) = 2 sin(1/2 h) cos(x + 1/2 h)` en hiermee is

`lim_(h rarr 0) (sin(x + h) - sin(x))/h = lim_(h rarr 0) (2 sin(1/2 h) cos(x + 1/2 h))/h =` `lim_(h rarr 0) (sin(1/2 h))/(1/2 h) * cos(x + 1/2 h)`

Uit de figuur hiernaast kun je afleiden dat voor `h → 0` geldt `sin(1/2 h) ≈ 1/2 h` . En omdat in dat geval ook `cos(x + 1/2 h) ≈ cos(x)` geldt:

`f '(x)=lim_(h rarr 0) (sin(x + h) - sin(x))/h = cos(x)`

Hieruit kun je ook de afgeleide van `g(x) = cos(x)` bepalen.
En de afgeleide van `h(x) = tan(x) = (sin(x))/(cos(x))` bepaal je met behulp van de quotiëntregel. En zo heb je bij het differentiëren van alle functies waarin sin en cos voorkomen ook de meeste andere differentieerregels weer nodig.

Opgave 1

In de Uitleg wordt de afgeleide van `f(x) = sin(x)` bepaald.

a

Laat zelf zien dat `f'(x) = lim_(h rarr 0) (sin(x + h) - sin(x))/h = cos(x)` . Licht alle stappen in het bewijs toe.

b

Laat zien dat de afgeleide van `g(x) = cos(x)` gelijk is aan `g'(x) = text(-)sin(x)` . Maak daarbij gebruik van `cos(x) = sin(1/2 pi - x)` en de kettingregel voor differentiëren.

Opgave 2

De afgeleide van `f(x) = tan(x)` kun je vinden door de quotiëntregel voor differentiëren en de afgeleiden van `y = sin(x)` en `y = cos(x)` te gebruiken. Laat dat zien.

Opgave 3

Met behulp van de al bekende differentieerregels en de regels voor het differentiëren van de drie standaard goniometrische functie die je hierboven hebt afgeleid, kun je alle functies differentiëren. Even oefenen met name bij goniometrische functies is nog nuttig. Bereken de afgeleide van de volgende functies.

a

`f(x) = 2 sin(x)`

b

`f(x) = sin(2x)`

c

`f(x) = sin^2(x)`

d

`f(x) = x^2 sin(x)`

e

`f(x) = 4 cos(2x) - sin(2x) + 1`

f

`f(x) = cos^2(x) + 3 cos(x)`

g

`f(x) = tan(3x)`

h

`f(x) = sin(x) cos(x)`

verder | terug