`u(t) = sin(2pi * t) + sin(2pi * (t - 0)) = 2 * sin(2pi * t)`

Er is geen faseverschil omdat `r = 0` .

Met `r = 0,25` krijg je `u(t) = sin(2pi * t) + sin(2pi * (t - 0,25)) =` ` 2 * sin(2pi * (t - 0,125)) cos(0,25pi)` en dat is een sinusoïde met een amplitude van `2 cos(0,25pi) = sqrt2` , een periode van `1` en een horizontale verschuiving van `0,125 * 2pi = 0,25pi` met een evenwichtslijn met vergelijking `y=0` .
Verder experimenteren met `r` levert een veranderende horizontale verschuiving op en een verandering van de amplitude. Bij `r = 0,5` bijvoorbeeld wordt de amplitude `0` .

`u` wordt een rechte lijn als de amplitude `0` is, dus als `cos(r * pi) = 0` en dus als `r = 0,5 + k` .

`u` is geen sinusoïde.

Dat lukt alleen als beide periodes hetzelfde zijn.

Met de regels van Simpson krijg je een sinusoïde als `cos(1/2 (p - q))` een constante wordt. En dat is alleen het geval als `sin(p)` en `sin(q)` dezelfde periode hebben.

Neem als venster `[0, 6]xx[text(-)3, 3]` .

`u_3` lijkt inderdaad een sinusoïde te zijn.

Dat komt in het vervolg van deze paragraaf aan de orde. De somformules spelen daarbij een rol.

`u(t) = sin(t) + sin(t - 2) + 4 = 2 cos(1) sin(t - 1) + 4` en dit is een sinusoïde met amplitude `2 cos(1)` , evenwichtsstand `y = 4` , periode `2pi` en horizontale verschuiving `1` .

`u(t) = sin((2pi)/5 t) + sin((2pi)/5(t - 2)) + 4 = 2 cos((2pi)/5) sin((2pi)/5(t - 1)) + 4` en dit is een sinusoïde met amplitude `2 cos((2pi)/5)` , evenwichtsstand `y = 4` , periode `5` en horizontale verschuiving `1` .

Gebruik `cos(alpha) = sin(alpha + 1/2 pi)` .

`u(t) = sin((2pi)/5 t + (pi)/2) + sin((2pi)/5 (t - 2)) + 4 = 2 cos((13pi)/20) sin((2pi)/5 (t - 3/8)) + 4` en dit is een sinusoïde met amplitude `2 cos((13pi)/20)` , evenwichtsstand `y = 4` , periode `5` en horizontale verschuiving `3/8` .

`u(t) = cos((2pi)/5 t) + cos((2pi)/5(t + 3)) + 2 = 2 cos((3pi)/5) cos((2pi)/5 (t + 1,5)) + 2` en dit is een sinusoïde met amplitude `2 cos((3pi)/5)` , evenwichtsstand `y = 2` , periode `5` en horizontale verschuiving `text(-)1,5` . (Dit is een verschoven cosinus!)

De horizontale verschuiving van `u_2` ten opzichte van `u_1` is `2` .
Beide trillingen hebben dezelfde periode `2pi` .
Het faseverschil is het gedeelte van de periode dat `u_2` achter loopt bij `u_1` , dus `2/(2pi)` .

`u` heeft een faseverschil van `1/(2pi)` t.o.v. `u_1` en van `text(-) 1/(2pi)` t.o.v. `u_2` . Kennelijk loopt `u` evenveel achter op `u_1` als hij voor loopt op `u_2` .

De somfunctie `u` heeft een even groot faseverschil met beide sinusoïden; op de éne loopt hij evenveel voor als op de ander achter.

Doen neem als venster `[0, 4pi] xx [text(-)2, 2]` en bepaal de twee opeenvolgende toppen van `u` .
De frequentie is `2pi` , de amplitude is ongeveer `1,82` en de evenwichtslijn is `y = 0` .

Doen, ga na dat je hetzelfde vindt als in het voorbeeld.

Nu is `u(t) ~~ 1,58 sin(t) + 0,91 cos(t) + 1` en dus is `u(t) ~~ sqrt(1,58^2 + 0,91^2) sin(t + alpha) + 1` met `tan(alpha) ~~ (0,91)/(1,58)` , zodat `alpha ~~ 0,52` . Hieruit volgt `u(t) ~~ sqrt(1,58^2 + 0,91^2) sin(t + 0,52) + 1` .

`u_3(t) = 3 sin(t) + 4 cos(t) = sqrt(3^2 + 4^2) sin(t + alpha)` met `tan(alpha) = 4/3` .
Dit geeft `u_3(t) ~~ 5 sin(t + 0,93)` .
Het faseverschil met `u = sin(t)` is `text(-) (0,93)/(2pi)` .

`u_4(t) = 3 sin(t) - 4 cos(t) = sqrt(3^2 + 4^2) sin(t - alpha)` met `tan(alpha) = 4/3` .
Dit geeft `u_4(t) ~~ 5 sin(t - 0,93)` .
Het faseverschil met `u = sin(t)` is `(0,93)/(2pi)` .

`u_5(t) = text(-) u_4(t) ~~ text(-)5 sin(t - 0,93) = 5 sin(t - 2,21)` .
Het faseverschil met `u = sin(t)` is `(2,21)/(2pi)` .

Beide functies hebben dezelfde periode.

`S(x) = 4 sin(2x) + 2 cos(2x - 5) + 1 =` ` (4 + 2 sin(5)) sin(2x) + 2 cos(5) cos(2x) + 1` ` ~~ 2,08 sin(2x) + 0,57 cos(2x) + 1` . Dit geeft `S(x) ~~ 2,16 sin(2x + alpha) + 1` met `tan(alpha) ~~ (0,57)/(2,08)` .
Dus `S(x) ~~ 2,16 sin(2x + 0,27) + 1` .

`S(x) ~~ 2,16 sin(2x + 0,27) + 1 = 2` geeft `sin(2x + 0,27) ~~ 0,46` .
Hieruit volgt `x ~~ 0,11 + k * pi vv x ~~ 1,19 + k * pi` .

Beide functies hebben verschillende periodes.

`u(t) = sin(3t) + sin(4t) = 2 sin(3,5t) cos(0,5t)` .
De periode van deze functie is `2pi` , bekijk de grafiek op de GR.

De periode van `u_1` is `2/3 pi` en die van `u_2` is `1/2 pi` .
Beide trillingen hebben periodes die `2pi` als kleinste gemeenschappelijke veelvoud hebben. Dat is de periode van `u` .

`u(t) = sin(t) + 2 cos(t) + 5 ~~ sqrt(5) sin(t + 1,1) + 5` .
De frequentie is `1/(2pi)` en de amplitude is `sqrt(5)` .

`u(t) = sin(50pi t) + 2 cos(50pi t) + 5 ~~ sqrt(5) sin(50pi t + 1,1) + 5` .
De frequentie is `(50pi)/(2pi) = 25` en de amplitude is `sqrt(5)` .

`u(t) = sin(50pi (t - 2)) + 2 cos(50pi t) + 5 = sin(50pi t) + 2 cos(50pi t) + 5 ~~` ` sqrt(5) sin(50pi t + 1,1) + 5` .
De frequentie is `(50pi)/(2pi) = 25` en de amplitude is `sqrt(5)` .

`u(t) = sin(100pi t) + 2 cos(50pi t) + 5` .
Dit is geen sinusoïde omdat de periodes van `u_1` en `u_2` verschillend zijn.

Hoorn: `u_(text(hoorn)) = 10 sin(160pi t)` .
Hobo: `u_(text(hobo)) = 5 sin(800pi t)` .

Kies voor `t` het interval `[0; 0,025]` .

De maximale uitwijking uit de evenwichtsstand is `15` .

Als je beide formules optelt (met de formules van Simpson) krijg je `y_3 = sin(t) + sin(t - p) = 2 cos(0,5p) sin(t - 0,5p) = A sin(t - 0,5p)` , waarin `A` een constante is. Dit is een zuivere sinusoïde.

Als je de formules optelt krijg je `y_3 = A sin(t - 0,5p)` , met `A = 2cos(0,5p)` .
Deze amplitude is gelijk aan `2` als `p = k * 4pi` .

Dat betekent: `A = 2cos(0,5p) = 0` . En dat is het geval als `p = pi + k * 2pi` .

Dat betekent: `A = 2cos(0,5p) = 1,5` . En dat is het geval als `p ~~ 1,44 + k * 4pi vv p ~~ text(-)1,44 + k * 4pi` .

De teruggekaatste golf bereikt het bootje `2 * 5/6 * 2pi = 3 1/3 pi` later. Er is dus een verschuiving van `3 1/3 pi` .

Als je op de formule bij a een somformule loslaat krijg je `h(t) ~~ 0,67 sin(t) - 0,58 cos(t)` .
En dit kun je schrijven als `h(t) ~~ sqrt(0,67^2 + 0,58^2) sin(t - 0,71) ~~ 0,88 sin(t - 0,71)` .

Doen, gebruik de schuifbalkjes.

Je vindt `u(t) = 2 sin(880 πt) + sin(1760 πt) + 1,5 sin(2640 πt) + 0,5 sin(4400 πt) +` `0,5 sin(6160 πt)` .

`u(t) = sin(880pi t) + 0,5 sin(1760pi t) + sin(2640pi t)`

De trilling is niet zuiver harmonisch, want grondtoon en boventonen bestaan uit verschillende frequenties. De frequentie van de totale trilling van de snaar is `440` , want de frequentie van de tweede boventoon past precies twee keer in die van de grondtoon en die van de tweede boventoon precies drie keer.

`u(t) = 5 sin(t) + 5 sin(t + 2) + 10 ≈ 5,40 sin(t + 1) + 10`
De frequentie is `1/(2π)` en de amplitude is `4,55` .

De trillingen hebben verschillende frequenties. Deze kun je niet als zuivere sinusoïde schrijven.

`u(t) = 5 sin(220π*t) + 3 sin(220π*t) + 10 = 10 + 8 sin(220π*t)` .
De frequentie is `110` Hz en de amplitude is `8` .