Gegeven de twee harmonische trillingen
`u_1`
en
`u_2`
door
`u_1 = sin(t)`
en
`u_2 = sin(t - 2)`
.
Beide trillingen hebben dezelfde periode en amplitude, maar wel een faseverschil.
Toon aan dat
`u = u_1 + u_2`
ook een harmonische trilling is.
Het faseverschil van beide trillingen is `2/(2π) = 1/π` .
In dit geval (gelijke periodes en gelijke amplitudes) zijn de formules van Simpson goed bruikbaar:
`u(t) = sin(t) + sin(t - 2) = 2 sin(t - 1) cos(1) ≈ 1,08 sin(t - 1)`
Je krijgt dus door `u_1` en `u_2` op te tellen een sinusoïde met een amplitude van ongeveer `1,08` en een periode van `2 π` . Iets dergelijks vind je steeds als je twee harmonische trillingen met gelijke periodes en gelijke amplitudes optelt: de som is dan weer een harmonische trilling. Als de éne formule een sinus en de andere een cosinusfunctie is, zet je die cos-functie eerst om in een sinus (of de sin in een cos).
In
`u_1(t) = sin(t)` en `u_2(t) = sin(t - 2) + 4`
`u_1(t) = sin((2pi)/5 t)` en `u_2(t) = sin((2pi)/5 (t - 2)) + 4`
`u_1(t) = cos((2pi)/5 t)` en `u_2(t) = sin((2pi)/5 (t - 2)) + 4`
`u_1(t) = cos((2pi)/5 t)` en `u_2(t) = cos((2pi)/5 (t + 3)) + 2`
In
Licht deze berekening toe.
Bereken het faseverschil van `u` ten opzichte van zowel `u_1` als `u_2` . Wat valt je op?
Kun je een algemene regel bedenken voor het faseverschil van de som van twee sinusoïden met dezelfde amplitude en dezelfde periode?