Goniometrische functies > Harmonische trillingVoorbeeld 2
Gegeven de twee harmonische trillingen
`u_1`
en
`u_2`
door
`u_1 = 2 sin(t) + 1`
en
`u_2 = sin(t - 2)`
.
Beide trillingen hebben alleen dezelfde periode. Toon aan dat
`u = u_1 + u_2`
ook een harmonische trilling is.
Omdat de amplitudes verschillen kun je de formules van Simpson niet toepassen. Wel
kun je
`sin(t-2 )`
uitwerken:
`sin(t - 2) = sin(t)cos(2) - cos(t)sin(2)`
.
Hiermee wordt:
`u(t) ≈ 1,58 sin(t) - 0,91 cos(t) + 1`
.
Nu is er een hoek
`α`
met:
`cos(α) = 1,58/(sqrt(1,58^2+0,91^2))`
en
`sin(α)=0,91/ (sqrt(1,58^2+0,91^2))`
.
En dus is:
`u(t) = sqrt(1,58^2 + 0,91^2)*(sin(t)*(1,58)/(sqrt(1,58^2+0,91^2)) - cos(t)*(0,91)/(sqrt(1,58^2+0,91^2)))
+ 1 = `
`= sqrt(1,58^2 + 0,91^2)*(sin(t)cos(α) - cos(t)sin(α)) + 1 = `
`= sqrt(1,58^2 + 0,91^2)*sin(t - α) + 1`
.
De hoek
`α`
bereken je uit
`tan(α) ≈ (0,91)/(1,58)`
.
`u` is een harmonische trilling met `u(t) ≈ sqrt(1,58^2+0,91^2)*sin(t - 0,52) + 1` .
In
Breng de grafiek van `u(t)` in beeld op je grafische rekenmachine. Ga na dat hij op een sinusoïde lijkt en bepaal frequentie, amplitude en evenwichtslijn.
Werk nu zelf het voorbeeld na. Bekijk goed hoe de amplitude van de sinusoïde wordt gevonden.
Laat op dezelfde manier zien, dat `v(t) = u_1(t) - u_2(t)` een sinusoïde is.
Gegeven is `u_1(t) = 3 sin(t)` en `u_2(t) = 4 cos(t)` .
Toon aan dat `u_3(t) = u_1(t) + u_2(t)` een sinusoïde is. Bereken de amplitude en het faseverschil met `u = sin(t)` .
Toon aan dat `u_4(t) = u_1(t) - u_2(t)` een sinusoïde is. Bereken de amplitude en het faseverschil met `u = sin(t)` .
Toon aan dat `u_5(t) = text(-)u_1(t) + u_2(t)` een sinusoïde is. Bereken de amplitude en het faseverschil met `u = sin(t)` .
Gegeven zijn de functies `f(x) = 4 sin(2x)` en `g(x) = 2 cos(2x - 5) + 1` . Het zijn beide sinusoïden. Verder is `S(x) = f(x) + g(x)` .
Waarom is `S` weer een sinusoïde?
Bewijs dat `S` een sinusoïde is en bereken de amplitude en de horizontale verschuiving ten opzichte van `y = sin(x)` .
Los algebraïsch op: `S(x) = 2` .