Gegeven de twee harmonische trillingen
`u_1`
en
`u_2`
door
`u_1 = sin(t)`
en
`u_2 =sin(2 t)`
.
Beide trillingen hebben verschillende periodes. Toon aan dat
`u = u_1 + u_2`
geen harmonische trilling is.
Omdat
`u_1`
en
`u_2`
dezelfde amplitudes hebben, kun je de formules van Simpson toepassen. Je vindt dan:
`u(t) = sin(t) + sin(2t) = 2 sin(1,5t) cos(0,5t)`
.
Deze formule heeft niet de gedaante van een sinusoïde.
Maar
`u(t)`
is wel periodiek. Omdat
`sin(t)`
zich herhaalt met een periode van
`2 π`
en
`sin(2t)`
met een periode van
`π`
, past de trillingstijd van de
`sin(2t)`
precies twee keer in die van
`sin(t)`
. De periode is daarom
`2π`
.
(In het algemeen is in een dergelijk geval de periode het kleinste gemeenschappelijke
veelvoud van beide afzonderlijke periodes.)
Bekijk de twee harmonische trillingen in
Waarom niet?
Neem nu `u_1(t) = sin(3t)` en `u_2(t) = sin(4t)` .
De grafiek van `u(t) = u_1(t) + u_2(t)` is geen harmonische trilling, maar wel periodiek. Toon dit aan.
Hoe leid je de periode van `u` af uit die van `u_1` en die van `u_2` ?