Goniometrische functies > Harmonische trilling
123456Harmonische trilling

Voorbeeld 3

Gegeven de twee harmonische trillingen `u_1` en `u_2` door `u_1 = sin(t)` en `u_2 =sin(2 t)` .
Beide trillingen hebben verschillende periodes. Toon aan dat `u = u_1 + u_2` geen harmonische trilling is.

> antwoord

Omdat `u_1` en `u_2` dezelfde amplitudes hebben, kun je de formules van Simpson toepassen. Je vindt dan:
`u(t) = sin(t) + sin(2t) = 2 sin(1,5t) cos(0,5t)` .

Deze formule heeft niet de gedaante van een sinusoïde.
Maar `u(t)` is wel periodiek. Omdat `sin(t)` zich herhaalt met een periode van `2 π` en `sin(2t)` met een periode van `π` , past de trillingstijd van de `sin(2t)` precies twee keer in die van `sin(t)` . De periode is daarom `2π` .
(In het algemeen is in een dergelijk geval de periode het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van beide afzonderlijke periodes.)

Opgave 9

Bekijk de twee harmonische trillingen in Voorbeeld 3. Hun som is geen harmonische trilling.

a

Waarom niet?

Neem nu `u_1(t) = sin(3t)` en `u_2(t) = sin(4t)` .

b

De grafiek van `u(t) = u_1(t) + u_2(t)` is geen harmonische trilling, maar wel periodiek. Toon dit aan.

c

Hoe leid je de periode van `u` af uit die van `u_1` en die van `u_2` ?

verder | terug