Goniometrische functies > Harmonische trillingUitleg
Een harmonische trilling is een periodieke beweging die wordt beschreven door een sinusoïde.
Een goed voorbeeld is een veer met een gewichtje er aan wat in trilling wordt gebracht. De uitwijking uit de evenwichtsstand heeft dan bijvoorbeeld een formule van de vorm `u(t) = 4 sin(4πt)` , waarin `u` de uitwijking uit de evenwichtsstand in cm is en `t` de tijd in seconden. De periode van deze trilling is `(2π)/(4π) = 0,5` seconde.
In de applet kun je twee harmonische trillingen instellen. Soms zijn ze "in fase" (ze starten dan op hetzelfde moment), soms niet. Ze hebben dezelfde amplitude, de evenwichtstand is `0` (er zijn drie tijdassen). Als je ze optelt (ze werken dan tegelijkertijd) kunnen ze elkaar versterken, dan wel uitdoven. Altijd ontstaat er een nieuwe periodieke functie, niet altijd is het weer een harmonische trilling, een sinusoïde. Wanneer wel en wanneer niet?
Even experimenteren en je zult wel vermoeden dat dit te maken heeft met de periodes van `u_1` en `u_2` : alleen als die gelijk zijn krijg je weer een zuivere sinusoïde.
Bekijk de applet in de
Laat algebraïsch zien dat `u` een sinusoïde is.
Hebben `u_1` en `u_2` een faseverschil?
Je gaat nu `r` variëren.
Neem bijvoorbeeld `r = 0,25` en probeer nog wat andere waarden voor `r` . Wat gebeurt er met `u` ? Laat dit ook algebraïsch zien.
Bij welke waarden van `r` wordt `u` een rechte lijn?
Bekijk weer de applet in de
De periodes van `u_1` en `u_2` zijn nu verschillend. Is `u` een sinusoïde?
Experimenteer met de applet. Wanneer wordt `u` een sinusoïde?
Je kunt de formule van `u` herleiden met de formules van Simpson. Hoe kun je daarna zien dat er alleen een sinusoïde kan ontstaan als de periodes van `u_1` en `u_2` gelijk zijn?
In de applet kun je de amplitudes van `u_1` en `u_2` niet veranderen. Daarom kun je de formules van Simpson toepassen. Maar bekijk nu de functies `u_1 = sin(2pi t)` en `u_2 = 2 sin(2pi (t - 1))` .
Breng `u_3 = u_1 + u_2` in beeld op de grafische rekenmachine (of in GeoGebra).
Lijkt `u_3` een sinusoïde te zijn?
Kun je dit ook algebraïsch aantonen?