Door hem te differentiëren en na te gaan of je dan het functievoorschrift van `f` krijgt.

En `F` differentiëren maar...

`F(x) = text(-) 1/2 cos(2x) + c` door `(0, 1)` geeft `c = 1 1/2` .
Dus de gevraagde primitieve is `F(x) = text(-) 1/2 cos(2x) + 1 1/2` .

`G(x) = 1/3 sin(3x) + c`

`F(x) = text(-)1/4 cos(4x) + 4 sin(x) + c` .

Omdat `int cos(x) * tan(x) text(d)x = int sin(x) text(d)x` is `F(x) = text(-)cos(x) + c` .

`F(t) = t + 2ln|cos(t)| + c`

`F(t) = 250t - 20 cos(2pi(t - 2)) * 1/(2pi) + c = 250t - (10)/(pi) cos(2pi(t - 2)) + c`

`F(x) = text(-)0,5cos(x) + 3 sin(2x) * 1/2 + c = text(-)0,5cos(x) + 1,5 sin(2x) + c`

`F(x) = 2x + 4 sin(0,4pi x - 0,5pi) * 1/(0,4pi) + c = 2x + (10)/(pi) sin(0,4pi x - 0,5pi) + c`

`F(x) = text(-)3ln|cos(0,5x)| * 1/(0,5) + c = text(-)6ln|cos(0,5x)| + c`

`f(x) = tan^2(x) = 1/(cos^2(x)) - 1` geeft `F(x) = tan(x) - x + c` .

`f(x) = cos^2(x) = 1/2 + 1/2 cos(2x)` geeft `F(x) = 1/2 x + 1/4 sin(2x) + c` .

`f(x) = 5sin(2x)cos(2x) = 2,5 sin(4x)` geeft `F(x) = text(-)2,5 cos(4x) * 1/4 + c = text(-)5/8 cos(4x) + c` .

`int_(0)^(pi) sin(x) text(d)x = [text(-)cos(x)]{:(pi),(0):} = 2` .

`int_(0)^(2pi) sin(x) text(d)x = [text(-)cos(x)]{:(2pi),(0):} = 0` .

`int_(0)^(10) 6 + 12sin(0,2pi(x - 2)) text(d)x = [6x - (60)/(pi) cos(0,2pi(x - 2))]{:(10),(0):} = 60` .

`int_(0)^(1) 2sin(pi x) - sin(0,5pi x) text(d)x = [text(-) 2/(pi) cos(pi x) + 2/(pi) cos(0,5pi x)]{:(1),(0):} = 2/(pi)` .

`int_(0)^(pi) sin(t) cos(2t) + cos(t) sin(2t) text(d)x = int_(0)^(pi) sin(3t) text(d)x = [text(-)1/3 cos(3t)]{:(pi),(0):} = 2/3` .

`int_(0)^(0,25pi) 3/(cos^2(x)) text(d)x = [3 tan(x)]{:(0,25pi),(0):} = 3` .

`int_0^(2pi) cos(x) text(d)x = [sin(x)]{:(2pi),(0):} = 0` .

Die oppervlakte is `4 * int_0^(0,5pi) cos(x) text(d)x = 4 * [sin(x)]{:(0,5pi),(0):} = 4` .

Die oppervlakte is `2` .

`int_0^(pi) sin(x) text(d)x = [text(-)cos(x)]{:(pi),(0):} = 2` .

`int_0^(pi) x - sin(x) text(d)x = [1/2 x^2 + cos(x)]{:(pi),(0):} = 1/2 pi^2 - 2` .

`int_0^(pi) pi x^2 text(d)x - int_0^(pi) pi sin^2(x) text(d)x = [1/3 pi x^3]{:(pi),(0):} - [1/2 pi x - 1/4 pi sin(2x)]{:(pi),(0):} = 1/3 pi^4 - 1/2 pi^2` .

Doen. Ga na, dat je hetzelfde antwoord krijgt.

Je moet dan de inverse functie van `f(x) = 1/(cos(1/2 x))` zien te bepalen en je hebt niet echt leren werken met de `arccos` -functie.

`[2 sin(0,5x)]{:(pi),(0):} = 2` .

`[sin(x)]{:(2pi),(0):} = 0` .

`[50x + (60)/(pi) sin(0,2pi x)]{:(5),(0):} = 250` .

`2 * [text(-) 1/2 cos(2x)]{:(0,5pi),(0):} = 2` .

`[1/2 t - 1/4 sin(2t)]{:(pi),(0):} = 1/2 pi` .

`[0,5 tan(x) - 0,5x]{:(0,25pi),(0):} = 0,5 - 0,125pi` .

`int_(1/8 pi)^(5/8 pi) sin(2x) - cos(2x) text(d)x = sqrt(2)` .

`int_(1/8 pi)^(1/4 pi) pi sin^2(2x) text(d)x - int_(1/8 pi)^(1/4 pi) pi cos^2(2x) text(d)x =` ` [1/2 pi x - 1/8 pi sin(4x)]{:(1/4 pi),(1/8 pi):} - [1/8 pi sin(4x) + 1/2 pi x]{:(1/4 pi),(1/8 pi):} = 1/4 pi` .

Kies venster bijvoorbeeld `[0, 2pi] xx [text(-)2, 2]` .

`f_0(x) = sin(2x) + sqrt(3)cos(2x) = sqrt(1 + sqrt(3)^2)*sin(2x + 1/3 pi) = 2 sin(2x + 1/3 pi)`

Bereken eerst de nulpunten van `f_0` . Je vindt `x = 1/3 pi vv x = 5/6 pi vv x = 1 1/3 pi vv x = 1 5/6 pi` .
De totale oppervlakte is `3 * int_(1/3 pi)^(5/6 pi) text(-)f_0(x) text(d)x` .
Primitiveren geeft `3 * [1/2 cos(2x) - 1/2 sqrt3 sin(2x)]{:(5/6 pi),(1/3 pi):} = 3 * 2 = 6` .

Nu moet `int_(0)^(2pi) f_p(x) text(d)x = 6` , dus `[text(-) 1/2 cos(2x) + 1/2 sqrt3 sin(2x) + px]{:(2pi),(0):} = 6` .
Dit geeft `2pi * p = 6` en dus `p = 3/(pi)` .

`int_0^5 (1 - cos(0,2pi x)) text(d)x = [x - 5/(pi) sin(0,2pi x)]_(5)^(0) = 5` .

`int_0^5 sqrt(1 + (0,2pi sin(0,2pi x))^2) text(d)x ~~ 5,46` .

`f(x) = sin(x) - sin(x)cos(x) = sin(x) - 1/2 sin(2x)`
`F(x) = text(-)cos(x) - 1/2*text(-)1/2 cos(2x) + c = text(-)cos(x) + 1/4 cos(2x) + c`

`G(x) = text(-)cos(x) + 1/2 cos^2(x) = text(-)cos(x) + 1/2 (cos(x))^2`

`G'(x) = sin(x) + 2*1/2 cos(x) * text(-)sin(x) = sin(x) - sin(x)cos(x) = sin(x)(1 - cos(x))`

Dit is gelijk aan functie `f` .
`G(x) = text(-)cos(x) + 1/2 cos^2(x) = text(-)cos(x) + 1/2(1/2 + 1/2 cos(2x)) = text(-)cos(x) + 1/4 + 1/4 cos(2x)`
`F(x) = text(-)cos(x) + 1/4 cos(2x) + c`
Neem `c = 1/4` bij functie `F` en dit geeft functie `G` .

`text(opp)V = int_(0)^(pi)(sin(x)(1 - cos(x)))text(d)x = [text(-)cos(x) + 1/4 cos(2x)]{:(pi),(0):} = 2`

De coördinaten van `O` , `A` en `T` zijn respectievelijk `(0, 0)` , `(pi, 0)` en `(1/2 pi, 1)` .
`g(0) = 0` en `g(pi) = 0` (dus de grafiek van `g` gaat door `O` en `A` ).
`g(1/2 π)= 4/(π^2) * 1/2 π * (pi - 1/2 pi) = 1` (dus de grafiek van `g` gaat door `T` ).

`f'(x) = cos(x)` en `g'(x) = text(-)8/(pi^2) * x + 4/(pi)` .
`f'(0) = 1` en `g'(0) = 4/(pi)` .
`4/(pi) > 1` , dus in `O` is de helling van de grafiek van `g` groter dan de helling van de grafiek van `f` .

`∫_0^π (ax^2 - aπx - sin(x))text(d)x = [1/3 ax^3 - 1/2 ax^2 + cos(x)]_0^π = 0` geeft `text(-)1/6 aπ^3 - 2 =0` en dus `a = text(-)12/(π^3)` .

`[10x - 20/(pi) sin(pi x)]{:(4),(0):} = 40` .

`[1/2 x^2 - 1/2 sin(2x)]{:(pi),(0):} = 1/2 pi^2` .

`[1/2 x^2 - (1/4 sin(2x) + 1/2 x)]{:(pi),(0):} = 1/2 pi^2 - 1/2 pi` .

`[tan(x) - 2x]{:(0,25pi),(0):} ~~ text(-)0,571` .