Goniometrische functies > IntegralenVoorbeeld 2
Gegeven is op
`[0, 2π]`
de functie
`f`
met
`f(x) = cos(x)`
.
Het vlakdeel
`V`
wordt ingesloten door de
`x`
-as en de grafiek van
`f`
. Bereken de oppervlakte en de omtrek van
`V`
en de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door
`V`
om de
`x`
-as te wentelen.
Oppervlakte: `opp(V) = int_(0,5π)^(1,5π) text(-)cos(x) text(d)x = [text(-)sin(x)]_(0,5π)^(1,5π) = 2` .
(Merk op dat de integraal volgens de rekenmachine `text(-)2` is.)
Omtrek: `omt(V) = π + int_(0,5 π)^(1,5π) sqrt(1 + sin^2(x)) text(d)x ≈ 6,96` (moet met de GR).
Inhoud:
`I = int_(0,5π)^(1,5π) π * cos^2(x) text(d)x`
.
Omdat
`cos(2x) = 2 cos^2(x) - 1`
, geldt:
`cos^2(x) = 1/2 + 1/2 cos(2x)`
.
De integraal wordt daarmee:
`int_(0,5π)^(1,5π) π(1/2 + 1/2 cos(2x)) text(d)x = [π(1/2 + 1/4 sin(2x))]_(0,5π)^(1,5π)
= 0,5 π^2`
.
In
Ga na dat `int_0^(2pi) cos(x) text(d)x = 0` .
Hoe groot is de oppervlakte van alle vier de vlakdelen tussen de grafiek van `f` en de `x` -as op dit interval samen? Verklaar het verschil met het voorgaande antwoord.
Bereken de oppervlakte van de vlakdelen tussen de grafiek en de `x` -as op `[0, pi]` .
Bekijk de grafiek van `f(x) = sin(x)` op `[0, pi]` .
Bereken met behulp van integreren de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek en de `x` -as.
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel `V` dat wordt ingesloten door de grafiek van `f` op `[0, pi]` en de lijn `y = x` .
Het vlakdeel `V` wordt gewenteld om de `x` -as.
Bereken met behulp van integreren de inhoud van het omwentelingslichaam dat daardoor ontstaat.