Met één van de formules van Simpson vind je: `h(x) = sin(x + 1/3 pi) - sin(x) = cos(x + 1/6 pi)` . Dit is een sinusoïde met amplitude `1` en evenwichtsstand `h = 0` .

In de snijpunten is `h(x) = 0` en dit geeft `x = 1/3 pi vv x = 4/3 pi` .
De snijpunten zijn daarom `(1/3 pi, 1 + 1/2 sqrt3)` en `(4/3 pi, 1 - 1/2 sqrt3)` .

`1/3 pi < x < 4/3 pi`

`sin(x) = cos(x - 1/4 pi)` geeft `sin(x) = sin(3/4 pi - x)` .
Dus `x = 3/4pi - x + k * 2pi vv x = pi - (3/4pi - x) + k * 2pi` .
Dit geeft `x = 3/8 pi + k * pi` .

`cos(x - 1/4 pi) = cos(x) cos(1/4 pi) + sin(x) sin(1/4 pi) = 1/2 sqrt(2) cos(x) + 1/2 sqrt(2) sin(x)` .
Daarmee wordt de vergelijking `(1 - 1/2 sqrt(2)) sin(x) - 1/2 sqrt(2) cos(x) = 0,5` .
En dat geeft `sqrt((1 - 1/2 sqrt(2))^2 + (1/2 sqrt(2))^2) sin(x - 1,18) = 0,5` , dus `sin(x - 1,18) ~~ 0,65` .
En hiermee vind je `x ~~ 1,89 + k * 2pi vv x ~~ 3,61 + k * 2pi` .

`sin^2(x) = 1 - 2 (1 - 2 sin^2(x))` geeft `sin^2(x) = 1/3` en dus `sin(x) = +- 1/3 sqrt3` . Dit geeft `x ~~ +- 0,62 + k * 2pi vv x ~~ +- 2,53 + k * 2pi` .

`(sin(x))/(cos(x)) = cos(x)` geeft `sin(x) = cos^2(x) = 1 - sin^2(x)` en dus `sin^2(x) + sin(x) - 1 = 0` . Met de abc-formule vind je `sin(x) = (text(-)1 + sqrt5)/2` . En dit levert op `sin(x) ~~ 0,62` en `x ~~ 0,67 + k * 2pi vv x ~~ 2,48 + k * 2pi` .

Omdat `y_1 = sin(2x)` en `y_2 = sin(x - 1/3pi)` verschillende periodes hebben.
Je kunt ook het functievoorschrift herleiden tot `f(x) = 2 sin(1,5x - 1/6 pi) cos(0,5x + 1/6 pi)` , maar ook dit is niet de juiste vorm voor een sinusoïde.

`f(x) = 0` geeft `sin(2x) = sin(1/3 pi - x)` en dus `x = 1/9 pi + k * 2/3 pi vv x = 2/3 pi + k * 2pi` . Met behulp van de grafiek vind je `0 ≤ x ≤ 1/9 pi vv 2/3 pi ≤ x ≤ 7/9 pi vv 13/9 pi ≤ x ≤ 2pi` .

`f'(x) = 2 cos(2x) + cos(x - 1/3 pi)` .
De tangens van de hoek met de `x` -as is `f'(0) = 2,5` en de hoek met de `x` -as is daarom ongeveer `68^@` . De gevraagde hoek is daarom `22^@` .

Neem `SQ` als hoogtelijn in driehoek `MPS` , dan is `MQ = cos(x)` en `SQ = sin(x)` . Met de stelling van Pythagoras vind je dat `QP = sqrt(4^2 - sin^2(x))` . Omdat `a(x) = MP = MQ + QP` krijg je hiermee de gegeven formule.

`a(x) = MP` is maximaal als `S` op het verlengde van `PM` ligt en dan is de lengte `1 + 4 = 5` .
`a(x) = MP` is minimaal als `S` op `PM` ligt en dan is de lengte `4 - 1 = 3` .

Dan is `cos(x) + sqrt(16 - sin^2(x)) = 4` .
De GR geeft `x ~~ 1,4 vv x ~~ 4,8` rad.

`v(x) = b(x) - a(x) = 4 - sqrt(16 - sin^2(x))` is maximaal als `v'(x) = (sin(x) cos(x))/(sqrt(16 - sin^2(x))) = 0` . Dit geeft `sin(x) = 0 vv cos(x) = 0` .
Het maximum is `v(0,5pi) = v(1,5pi) = 4 - sqrt(15)` .

De inhoud van elke meter goot is de oppervlakte van de dwarsdoorsnede `xx 100` cm.
De dwarsdoorsnede is een trapezium met een hoogte van `20 * sin(0,25pi) ~~ 14,14` cm.
De onderste zijde van het trapezium is `20` en de bovenste zijde is `20 + 2 * 20 * cos(0,25pi) ~~ 48,28` cm.
De oppervlakte is dan ongeveer `482,84` cm². De inhoud van een meter goot is dan `48` L.

De berekening van de inhoud bij a kun je veralgemenen; je vult dan `alpha` in i.p.v. `0,25pi` . Dit geeft `W(alpha) = 1/2 * (40 + 2 * 20 * cos(alpha)) * 20 * sin(alpha)` en dat levert de gewenste formule op.

`W(alpha) = 40sin(alpha) + 20sin(2 alpha)` geeft `W'(alpha) = 40cos(alpha) + 40cos(2 alpha) = 40cos(alpha) + 40(2cos^2(alpha) - 1)` .
`W'(alpha) = 80 cos^2(alpha) + 40 cos(alpha) - 40 = 0` geeft `cos(alpha) = 1/2 vv cos(alpha) = text(-)1` .
Dit geeft `alpha = 1/3 pi` .

De vorm van een boog is ook een zeer bruikbare vorm.
Verder hoeft de onderzijde geen `20` cm te zijn. Deze lengte kun je variabel maken. Er is een hoop aan te rekenen.

Noem `l_1` de lengte van het stuk in de smalle gang, dan is `l_1 * sin(alpha) = 1` .

Noem `l_2` de lengte van het stuk in de brede gang, dan is `l_2 * cos(alpha) = 2` .

Hieruit kun je de formule voor `l = l_1 + l_2` afleiden.

$l\text{'}\left(\alpha \right)=\frac{-{\cos }^3(\alpha )+2{\sin }^3(\alpha )}{{\sin }^2(\alpha )\cdot {\cos }^2(\alpha )}$ en $l\text{'}=0$ als $\tan (\alpha )=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ en dus $\alpha \approx \mathrm{0,67}$. En dan is (zie grafiek) min.$l(\mathrm{0,67})\approx \mathrm{4,16}$. Deze waarde betekent dat een lengte van `4,16` m nog net door de bocht kan.

De lengte van de plank is kleiner dan $\mathrm{4,16}$ m en hij kan dus om de bocht.

De gevraagde oppervlakte is `o p p (V) = int_0^(pi) cos^2(0,5x) text(d)x` .

Nu is `cos^2(x) = 1/2 - 1/2 cos(2x)` , dus `cos^2(0,5x) = 1/2 - 1/2 cos(x)` .

Dus `o p p (V) = [1/2 x - 1/2 sin(x)]_0^(pi) = 1/2 pi` .

Het gevraagde volume is `int_0^(pi) pi cos^4(0,5x) text(d)x` .

Nu is `cos^2(x) = 1/2 - 1/2 cos(2x)` , dus `cos^4(x) = (1/2 - 1/2 cos(2x))(1/2 - 1/2 cos(2x)) = 1/4 - 1/2 cos(2x) + 1/4 cos^2(2x) = ` `1/4 - 1/2 cos(2x) + 1/4 (1/2 + 1/2 cos(4x)) = 3/8 - 1/2 cos(2x) + 1/8 cos(4x)` .
Dus `cos^4(0,5x) = 3/8 - 1/2 cos(x) + 1/8 cos(4x)` .

Dus wordt het volume `[3/8 x - 1/2 sin(x) - 1/32 sin(4x)]_0^(pi) = 3/8 pi` .

`f'(x) = text(-)cos(0,5x) sin(0,5x)`

`L = int_0^(pi) sqrt(1 + (cos(0,5x)sin(0,5x))^2) text(d)x ~~ 3,33`

Aan het feit dat de toppen van de resulterende grafiek op twee sinusoïden lijken te liggen.

De amplitudes van de zweving liggen tussen `0` en `2` in.
De maximale amplitude is de som van beide afzonderlijke amplitudes.
De minimale amplitude is het (positieve) verschil van beide afzonderlijke amplitudes.

Eigen antwoord.

Omdat de amplitude niet spontaan $0$ zal worden, maar steeds langzamer kleiner wordt.

Na $t={}^{\mathrm{0,8}}log(\mathrm{0,5})\approx \mathrm{3,1}$ seconden.

Dat maximum is ${\mathrm{0,8}}^{\mathrm{0,25}}\approx \mathrm{0,95}$. Het maximum dat precies de helft hiervan is zou $\mathrm{3,1}$ seconden later optreden, maar daar heeft de grafiek geen maximale waarde. Dus er is geen maximum dat precies de helft is.

De lengte is `1 + sqrt(2)` en de breedte is `1 + 1/2 sqrt(2)` , dus de oppervlakte is `(1 + sqrt(2))(1 + 1/2 sqrt(2)) = 2 + 1 1/2 sqrt(2)` .

Zie de figuur hieronder. Hieruit volgt de formule.

De vierkantjes moeten zo liggen dat lengte en breedte van de omhullende rechthoek verwisseld zijn.

`R'(t) = cos(t)(1 + sin(t) + cos(t)) + (1 + sin(t))(cos(t) - sin(t))` .
Nog even `0` invullen en klaar.

`f_2` is minimaal `1` en maximaal `2` geeft `a = 1,5` en bijvoorbeeld `b = 0,5` .
De periode is `pi` , dus `c = 2` .
De grafiek van `f_2` snijden met `y = 1,5` geeft bijvoorbeeld `d = 3/4 pi` (of `d ~~ 2,36` ).

Gevraagd wordt het aantal oplossingen van `1 + sin^2(1/6 pi) + cos(n/6 pi) = 1/4` .
Dit geeft `cos(n/6 pi) = text(-)1` en dit is het geval als `n = 6` , `n = 18` , `n = 30` , of `n = 48` .

Gebruik de formule `cos(2x) = 1 - 2 sin^2(x)` .
Je vindt dan de gewenste formule.

De oppervlakte van het gebied onder de grafiek van `f_4` is `int_(0)^(2pi) (1,5 - 0,5 cos(2x) + cos(4x)) text(d)x =` ` [1,5x - 0,25 sin(2x) + 0,25 sin(4x)]{:(2pi),(0):} = 3pi` .
De oppervlakte van de rechthoek `OABC` is `6pi` , dus ook het gebied boven de grafiek van `f_4` heeft oppervlakte `3pi` .

Elke ruit bestaat uit vier rechthoekige driehoeken waarvan de schuine zijde `5` is en dus de verticale rechthoekszijden `5 sin(1/2 alpha)` en de horizontale rechthoekszijden `5 cos(1/2 alpha)` zijn.

`l = 10*5cos(1/2 alpha)` en `b = 6*5sin(1/2 alpha)` .

`50cos(1/2 alpha)=40` geeft `cos(1/2 alpha) = 0,8`

Omdat `sin^2(1/2 alpha) + cos^2(1/2 alpha) = 1` is `sin^2(1/2 alpha) + 0,8^2 = 1` .

Dus `sin(1/2 alpha) = 0,6` (negatief antwoord vervalt).

Dit betekent dan `b=30*0,6=18` cm.

`l' = text(-)25sin(1/2 alpha)` en `b' = 15cos(1/2 alpha)` .

Nu moet `25sin(1/2 alpha) = 15cos(1/2 alpha)` , dus `tan(1/2 alpha) = 0,6` .

Dus `1/2 alpha ~~ 0,5404+k*pi` ofwel `alpha ~~ 1,08 + k*2pi` .

Het gevraagde antwoord is `alpha ~~ 1,08` .

`OQ` is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden `2*5cos(1/2 alpha)` (horizontaal) en `3*5sin(1/2 alpha)` .

`OQ^2 = 100 cos^2(1/2 alpha) + 225 sin^2(1/2 alpha) = 100 + 125sin^2(1/2 alpha)` .

Hier is gebruikt dat `100 cos^2(1/2 alpha) + 100 sin^2(1/2 alpha) = 100` .

Dus `OQ = sqrt(100 + 125sin^2(1/2 alpha))` .

In dat geval is `OQ = OP` , dus `sqrt(100 + 125sin^2(1/2 alpha)) = 1/2*50sin(1/2 alpha)` .

Kwadrateren: `100 + 125sin^2(1/2 alpha) = 625sin^2(1/2 alpha)` .

Dus: `sin^2(1/2 alpha) = 100/500 = 0,2` en `sin(1/2 alpha) = sqrt(0,2)` .

Dit geeft `1/2 alpha ~~ 0,4636` en `alpha ~~ 0,93` .