Goniometrische functies > TotaalbeeldExamenopgaven
Twee vierkanten, beide met zijde `1` , hebben het hoekpunt `O` gemeenschappelijk. Het onderste vierkant ligt vast. Het bovenste vierkant wordt om `O` gedraaid; `t` is de draaihoek in radialen. In de volgende figuur zijn tussen de begin- en eindstand drie tussenstanden getekend. Om de twee vierkanten is steeds een zo klein mogelijke rechthoek getekend, met twee zijden langs het vaste vierkant.
De oppervlakte
`R`
van de omhullende rechthoek is een functie van de draaihoek
`t`
.
Voor elke waarde van
`t`
tussen
`0`
en
`1/2 pi`
geldt:
`R(t) = (1 + sin(t))(1 + sin(t) + cos(t))`
.
In de figuur hiernaast is de situatie getekend voor een waarde van
`t`
tussen
`0`
en
`1/2 pi`
.
Toon de juistheid van de formule aan voor elke waarde van `t = 1/4 pi` .
Toon de juistheid van de formule aan voor elke waarde van `t` tussen `0` en `1/2 pi` .
Teken de posities van de vierkantjes waarvoor `R(t)` maximaal is. Licht je werkwijze toe.
Toon met behulp van differentiëren aan dat `R'(0) = 3` .
(bron: examen wiskunde B vwo 2003, eerste tijdvak)
Op het domein `[0, 2pi]` zijn gegeven de functies: `f_(n) (x) = 1 + sin^2(x) + cos(nx)` waarbij `n` een positief geheel getal is. De grafiek van `f_n` gaat voor bepaalde waarden van `n` door het punt `(1/6 pi, 1/4)` .
Als je de grafiek van `f_2` door de GR laat tekenen, lijkt deze op een sinusoïde. Er geldt inderdaad `f_2(x) = a + b sin(c(x - d))` .
Geef een mogelijke combinatie van waarden voor `a` , `b` , `c` en `d` . Licht je antwoord toe.
Onderzoek voor welke waarden van `n` tussen `0` en `50` dit geldt.
`f_(4)(x)` is te schrijven als `f_(4) (x) = 1,5 - 0,5cos(2x) + cos(4x)` . Toon aan dat dit juist is.
Gegeven is de rechthoek `OABC` met `A(2pi, 0)` en `C(0, 3)` . De grafiek van `f_4` verdeelt deze rechthoek in twee gebieden.
Toon aan met behulp van integreren dat deze twee gebieden exact dezelfde oppervlakte hebben.
(bron: examen wiskunde B vwo 2004, eerste tijdvak)
Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft `19` gelijke ruiten.
In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het linker scharnierpunt van het model is `P` , het scharnierpunt linksboven `Q` en het midden van de middelste ruit is `O` . De grootte van de binnenhoek bij `P` in radialen is `alpha` met `0 le alpha le pi` .
Neem aan dat de lengte van een zijde van elke ruit `5` cm is. De lengte `l` en de breedte `b` van het model zijn functies van `alpha` . Er geldt: `l=50cos(1/2 alpha)` en `b=30sin(1/2 alpha)` .
Toon aan dat de formules voor `l` en `b` juist zijn.
Bereken exact de waarde van `b` als `l=40` cm.
Als we `alpha` van `0` tot `pi` laten toenemen, zal `b` toenemen en `l` afnemen.
Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van `alpha` de breedte even snel toeneemt als de lengte `l` afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen.
Toon aan dat `OQ = sqrt(100 + 125sin^2(1/2 alpha))` .
Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt `O` liggen.
Bereken voor welke waarde van `alpha` dit het geval is. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
(naar: examen wiskunde B vwo 2010, eerste tijdvak)