Goniometrische functies > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Testen

Opgave 1

Gegeven zijn de functies `f(x) = sin(x + 1/3 pi) + 1` en `g(x) = 1 + sin(x)` .
Beide hebben ze als domein `[0, 2pi]` .
Verder is gegeven de functie `h` met `h(x) = f(x) - g(x)` .

a

Toon aan dat de grafiek van `h` een zuivere sinusoïde is. Bereken de amplitude en de evenwichtsstand van `h` .

b

Bereken algebraïsch de snijpunten van de grafieken van `f` en `g` .

c

Los algebraïsch op: `f(x) < g(x)` .

Opgave 2

Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op. Geef alleen waar nodig benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

a

`sin(x) - cos(x - 1/4 pi) = 0`

b

`sin(x) - cos(x - 1/4 pi) = 0,5`

c

`sin^2(x) = 1 - 2 cos(2x)`

d

`tan(x) = cos(x)`

Opgave 3

Gegeven is de functie `f(x) = sin(2x) + sin(x - 1/3 pi)` met domein `[0, 2pi]` .

a

Waarom is de grafiek van `f` geen zuivere sinusoïde?

b

Los algebraïsch op: `f(x) ≤ 0` .

c

Bereken de hoek waaronder de grafiek van `f` de `y` -as snijdt als je op beide assen dezelfde schaalverdeling gebruikt.

Opgave 4

Een zuiger is door middel van een drijfstang verbonden met een draaiende schijf. Als de schijf draait, beweegt de zuiger horizontaal heen en weer. `M` is het middelpunt van de schijf. `S` is de (scharnierende) verbinding van de drijfstang met de schijf. Bij punt `P` is de drijfstang scharnierend met de zuiger verbonden. `MS = 1` en `PS = 4` . Stel de grootte van de hoek `PMS` is `x` radialen. Dan is de afstand `PM` afhankelijk van de hoekgrootte `x` . Er geldt: `PM = a(x)` . Voor elke hoekgrootte `x` geldt:
`a(x) = cos(x) + sqrt(16 - sin^2(x))` .

a

Bewijs deze formule voor `0 < x < 1/2 pi` .

In de grafiek van `a` op het domein `[0, 2pi]` zie je dat het minimum van `a(x)` gelijk is aan `3` en het maximum gelijk is aan `5` .

b

Hoe kun je dat berekenen aan de hand van de tekening van de zuiger?

c

Bij één rondgang van de schijf zal de lengte `PM` op twee momenten gelijk zijn aan de lengte van de drijfstang `PS` . Hoe groot zijn de hoeken `PMS` waarbij zich dat voordoet? Geef je antwoord in radialen en in één decimaal nauwkeurig.

d

De afstand `a(x)` kun je benaderen door de formule `b(x) = 4 + cos(x)` . Bereken algebraïsch voor welke `x` het verschil tussen `b(x)` en `a(x)` maximaal is en bereken dit exact.

Opgave 5

Het Ministerie van Ontwikkelingssamenwerking geeft een bedrijf opdracht om goten te ontwikkelen voor een bevloeiingssysteem in een ontwikkelingsland. Deze goten krijgen de vorm van langwerpige bakken met twee opstaande randen die een hoek van `alpha` (in radialen) maken met de horizontale bodem. De dwarsdoorsnede van de goot is een gelijkbenig trapezium, de breedte van de bodem is net als die van de opstaande randen `20` cm.

a

Hoeveel liter water kan de goot per meter verwerken als `alpha = 0,25pi` ?

b

Toon aan dat de hoeveelheid water (in L) die de goot per meter kan verwerken gelijk is aan: `W(alpha) = 40 sin(alpha) + 40 sin(alpha)* cos(alpha)` .

c

Bereken de waarde van `alpha` waarvoor `W` zo groot mogelijk is in één decimaal nauwkeurig.

d

Is dit zonder meer de meest gunstige manier van buigen? Verklaar je antwoord.

Opgave 6

Door een smalle gang moet een houten paneel van `400`  cm bij `90`  cm worden vervoerd. De dikte van het paneel is te verwaarlozen. Je ziet in de figuur een bovenaanzicht van de hoek die er in de gang zit. Het paneel wordt tijdens het vervoer verticaal gehouden. De gang is `2,80` m hoog. De vraag is nu of het paneel de bocht kan maken. Stel je voor dat `l` de grootst mogelijke lengte is die nog in de bocht past bij een bepaalde hoek α.

a

Laat zien dat uit deze tekening volgt: `l = 1/(sin(alpha)) + 2/(cos(alpha))` .
Hierin is `alpha` in radialen met `0 ≤ alpha ≤ 1/2 pi` .

b

Laat zien dat l een minimale waarde heeft. Welke betekenis heeft die waarde?

c

Kan een paneel met een lengte van 4 m deze bocht halen?

Opgave 7

Gegeven is de functie `f` door `f(x) = cos^2(0,5x)` met domein `[0, pi]` .

a

Bereken de exacte oppervlakte van het vlakdeel `V` ingesloten door de grafiek en de beide coördinaatassen.

b

Bereken het exacte volume van het omwentelingslichaam dat ontstaat door `V` om de `x` -as te wentelen.

c

Bereken de lengte van het deel van de grafiek binnen dit domein in twee decimalen nauwkeurig.

verder | terug