Gegeven zijn de functies:
`f(x) = (x + 1)/(x^2 - 1)`
`g(x) = text(e)^(text(-)3x+6) + 15`
`h(x) = ln(1/x)`
Bepaal van deze functies met behulp van transformaties en limieten alle asymptoten en perforaties.
`f(x) = (x+1)/((x+1)(x-1)) = 1/(x-1)`
mits
`x != text(-)1`
.
Functie
`f`
ontstaat uit de standaardgrafiek
`y = 1/x`
na een horizontale translatie van
`1`
.
Er geldt:
`lim_(x rarr text(-)oo) 1/(x-1) = lim_(x rarr oo) 1/(x-1) = 0`
en
`lim_(x uparrow 1) 1/(x-1) = text(-)oo`
en
`lim_(x downarrow 1) 1/(x-1) = oo`
en
`lim_(x uparrow text(-)1)1/(x-1) = lim_(x downarrow text(-)1)1/(x-1) = text(-)1/2`
De functie
`f`
heeft dus een horizontale asymptoot
`y = 0`
, een verticale asymptoot
`x = 1`
, en een perforatie op
`(text(-)1,text(-)1/2)`
.
`g(x) = text(e)^(text(-)3(x-2)) + 15`
Functie
`g`
ontstaat uit de standaardgrafiek
`y = text(e)^x `
na een vermenigvuldiging ten opzichte van de
`y`
-as met
`text(-)1/3`
, waarbij de grafiek verticaal gespiegeld is, een horizontale translatie van
`2`
en een verticale translatie van
`15`
.
Er geldt:
`lim_(x rarr oo) g(x) = 15`
De functie
`g`
heeft dus een horizontale asymptoot
`y = 15`
.
`h(x) = ln(1/x) = ln(x^(text(-)1)) = text(-)ln(x)`
Functie
`h`
ontstaat uit de standaardgrafiek
`y = ln(x)`
na een vermenigvuldiging ten opzichte van de
`y`
-as met
`text(-)1`
, waarbij de grafiek gespiegeld is.
Er geldt:
`lim_(x uparrow 0) h(x) = text(-)oo`
De functie
`h`
heeft dus een verticale asymptoot
`x = 0`
.
Onderzoek met behulp van limieten of de functies asymptoten of perforaties hebben.
`f(x) = (text(e)^(3x) + 5)/(text(e)^(3x))`
`g(x) = ln(1 - 4x)`
`h(x) = tan(2/3 pi - 1/2 x)`
`k(x) = (2x)/(x^2 + 3x)`