Functieonderzoek > Asymptotisch gedrag
12345Asymptotisch gedrag

Voorbeeld 3

Gegeven is de functie: `f(x) = (text(-)x^3 + 12x^2 + 4)/(4x^2)` .
Toon aan dat deze functie een schuine asymptoot heeft en bepaal de vergelijking hiervan.

> antwoord

`f(x) = (text(-)x^3 + 12x^2 + 4)/(4x^2) = text(-)1/4 x + 3 + 1/(x^2)`

Het lijkt er op dat `y = text(-)1/4x + 3` de vergelijking van de scheve asymptoot is.

Ter controle:
`lim_(x rarr text(-)oo) (f(x) - (text(-)1/4 x + 3)) = lim_(x rarr oo)(f(x) - (text(-)1/4 x + 3)) = 0`

Je kunt ook naar de afgeleide kijken.

Omdat `f'(x) = text(-)1/4 - 2/(x^3)` en `lim_(x rarr text(-)oo) f'(x) = lim_(x rarr oo) f'(x) = text(-)1/4 - 0 = text(-)1/4` heeft de functie `f` een scheve asymptoot. Immers de helling van de grafiek benadert `text(-)1/4` als `x rarr +-oo` .

Opgave 9

Toon de scheve asymptoot van de functie aan met een limiet en bepaal de vergelijking van de asymptoot.

a

`f(x) = 5/(x-2) + 4(x-5)`

b

`g(x) = (text(-)2x^2 + 4)/x`

c

`h(x) = (3x^2 - 4x - 2)/(x - 2)`

d

`k(x) = 5 - 2x + text(e)^(1-x)`

Opgave 10

De grafiek van `f(x) = sqrt(x^2 - 4)` heeft twee scheve asymptoten.

a

Er geldt: `lim_(x rarr oo)sqrt(x^2 - 4) = lim_(x rarr oo)sqrt(x^2)` .

Leg dit uit.

b

Welke scheve asymptoot heeft `f` voor `x rarr oo` ?

c

Welke scheve asymptoot heeft `f` voor `x rarr text(-)oo` ?

verder | terug