Functieonderzoek > Asymptotisch gedrag
12345Asymptotisch gedrag

Uitleg

De asymptoten van een functie bepaal je door limieten te berekenen:

  • De functie `f` heeft een horizontale asymptoot `y = a` als:
    `lim_(x rarr text(-)oo) f(x) = a` en/of `lim_(x rarr oo) f(x) = a`

  • De functie `f` heeft een verticale asymptoot `x = a` als:
    `lim_(x uparrow a) f(x) = +-oo` en/of `lim_(x downarrow a) f(x) = +-oo`

Soms lijkt een functie een verticale asymptoot te hebben (bijvoorbeeld voor `x = a` is de noemer `0` ), maar leveren de bijbehorende limieten toch een waarde op. In dat geval spreek je van een perforatie als die waarden hetzelfde zijn. Zijn ze verschillend dan heeft de grafiek een sprong.

Je kent de volgende standaardlimieten al:

  • `lim_(x rarr text(-)oo) 1/(x^n) = lim_(x rarr oo) 1/(x^n) = 0`
    `lim_(x uparrow 0) 1/(x^n) = text(-)oo` en `lim_(x downarrow 0) 1/(x^n) = oo` voor `n` oneven
    `lim_(x uparrow 0) 1/(x^n) = lim_(x downarrow 0) 1/(x^n) = oo` voor `n` even

  • `lim_(x rarr oo) g^x = 0` voor `0 lt g lt 1` en `lim_(x rarr text(-)oo) g^x = 0` voor `g gt 1`

  • `lim_(x downarrow 0) \ ^g log(x) = oo` voor `0 lt g lt 1` en `lim_(x downarrow 0) \ ^g log(x) = text(-)oo` voor `g gt 1`

  • `lim_(x uparrow pi/2 + k*pi) tan(x) = oo` en `lim_(x downarrow pi/2 + k*pi) tan(x) = text(-)oo`

Om te bedenken waar precies de asymptoten zouden kunnen zitten, moet je de grafieken van de standaardfuncties goed kennen. En verder bij samengestelde functies bedenken of ze zijn ontstaan door transformatie van een standaardfunctie, of anderszins op bepaalde standaardfuncties lijken.

Opgave 1

Geef van de functies aan hoe ze uit de standaardgrafiek zijn ontstaan en waar de asymptoten liggen. Geef ook de limieten van deze functies als ze de asymptoten naderen.

a

`f(x) = text(-)3ln(x+2)`

b

`g(x) = 2/((x-5)^2) + 1`

c

`h(x) = 3^(2-x)`

d

`j(x) = 1 - tan(2x)`

Opgave 2

Gegeven is de functie: `f(x) = 1/(x^2-1)` .
Deze functie is niet door transformaties uit een standaardfunctie af te leiden.

a

Deze functie heeft twee verticale asymptoten. Welke lijnen zijn dat en hoe kun je die vinden?

b

Toon de verticale asymptoten van functie `f` met behulp van limieten aan.

Gegeven is de functie: `g(x) = x/(x^2-x)` .

c

Waarom is functie `g` niet gelijk aan `h(x) = 1/(x-1)` ?

d

Welke limieten horen bij functie `g` ? Wat betekent dit voor de grafiek van `f` ?

Opgave 3

Gegeven is de functie: `f(x) = sin(1/x)` .

a

Beargumenteer of `f` wel of geen horizontale asymptoot heeft. Zo ja, geef deze.

b

Heeft functie `f` een verticale asymptoot op `x = 0` ? Leg uit waarom wel of niet.

verder | terug