Functieonderzoek > Symmetrie
12345Symmetrie

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Venster b.v. .

b

.

c

Als je uitgaat van een naar beide zijden oneindig doorlopende grafiek zijn er ook symmetriepunten. Je kunt de grafiek namelijk puntspiegelen in de punten en .

Opgave 1

Vul en in:

Dus voor iedere willekeurige is: waarmee de gevraagde lijnsymmetrie is aangetoond.

Opgave 2
a

en .
Er geldt dus voor willekeurige , dus de grafiek van is symmetrisch ten opzichte van de -as.

b


Er geldt voor alle , dus de grafiek van is symmetrisch ten opzichte van de -as.

c

en .
Dus geldt niet voor alle en de grafiek van is niet symmetrisch ten opzichte van de -as.

Opgave 3
a

Tussen en : .

Tussen en : .

b

Tussen punt en punt is zowel het horizontale verschil als het verticale verschil gelijk aan die tussen punt en . Omdat dit voor willekeurige geldt, is een symmetriepunt van de functie.

Opgave 4
a

Dit is gelijk aan de -coördinaat van het gegeven punt, dus is een symmetriepunt.

b

Dit is gelijk aan de -coördinaat van het gegeven punt, dus is een symmetriepunt.

c

Dit is gelijk aan de -coördinaat van het gegeven punt, dus is een symmetriepunt.

Opgave 5
a

De sinusfunctie heeft de eigenschap: .
Dit geeft en .

De cosinusfunctie heeft de eigenschappen: en .
Dit geeft: .

b

De lijnen .

c

Gebruik dezelfde eigenschappen bij a: .

Opgave 6
a

Voer de functie in met venster bijvoorbeeld .

lijkt symmetrisch ten opzichte van .

b

Je moet aantonen dat .

Dus is symmetrisch ten opzichte van de lijn .

Opgave 7
a

Gebruik de grafiek en/of transformaties. Het symmetriepunt lijkt te zijn.

b

Je ziet:

.

Dus is puntsymmetrisch in .

c


Deze functie lijkt lijnsymmetrisch in .

De grafiek van is dus lijnsymmetrisch in .

Opgave 8
a

heeft een verticale asymptoot als ofwel als .
Verder heeft een schuine asymptoot .
Invullen van in de vergelijking van de schuine asymptoot geeft .
Dit zijn de coördinaten van .

b

Dus is een symmetriepunt van de grafiek van .

Opgave 9
a

De grafiek van is dus lijnsymmetrisch in .

b

Dus .

De grafiek van is dus puntsymmetrisch in .

Opgave 10
a

Je ziet dat voor iedere willekeurige , dus is lijnsymmetrisch in .

b

Je ziet dat voor iedere willekeurige , dus is puntsymmetrisch in .

Opgave 11

Je ziet dat voor willekeurige , dus de grafiek van de functie is lijnsymmetrisch ten opzichte van .

Opgave 12
a

Voer het functievoorschrift in met venster bijvoorbeeld .

Bedenk dat voor het domein van geldt en dus . De GR laat niet altijd de grafiek goed zijn op de randen van het domein.

b

c

voor willekeurige , dus is lijnsymmetrisch in .

Opgave 13

Als grafiek van puntsymmetrisch is, dan moet dat in een punt op de evenwichtslijn zijn.
Nu is als en .
Een mogelijk symmetriepunt is dus .

Dus .

De grafiek van is puntsymmetrisch in .

Opgave 14

Bekijk de grafiek op je GR. Er lijkt sprake te zijn van puntsymmetrie in .

Er geldt , dus is een symmetriepunt van .

Opgave 15

De grafiek van voor is een dalparabool met top .

De grafiek van voor is een bergparabool met top door punt .

Voor geldt dus . Invullen van punt geeft .
Dus .

Symmetrie controleren:

Dus en de symmetrie klopt.

Opgave 16Kansdichtheidsfunctie
Kansdichtheidsfunctie

De kansdichtheidsfunctie wordt:

Gezien de vorm van de normale verdelingskromme bekijk je of de grafiek van lijnsymmetrisch is ten opzichte van .

Omdat voor willekeurige is de grafiek van symmetrisch ten opzichte van de lijn .

Opgave 17Symmetrie functie en afgeleide
Symmetrie functie en afgeleide

Als de grafiek van puntsymmetrisch is in , dan is de grafiek van puntsymmetrisch in .
Er geldt dan , ofwel .

Differentieer beide zijden van deze vergelijking: en .
De vergelijking wordt: , ofwel .
Hieruit volgt dat de grafiek van de afgeleide functie lijnsymmetrisch is in .

Omdat ontstaat na een een translatie van , is de grafiek van de afgeleide functie ook lijnsymmetrisch, in .

Opgave 18
a

Voer het functievoorschrift in met venster bijvoorbeeld .

b

Symmetrieas .

c

Er geldt voor willekeurige waarvoor de functie gedefinieerd is, dus de grafiek is lijnsymmetrisch in .

Opgave 19

Dus en de functie is puntsymmetrisch in .

verder | terug