Functieonderzoek > SymmetrieAntwoorden van de opgaven
Venster b.v. `[text(-)2pi, 2pi] xx [text(-)1, 2]` .
`f(0-p) = sin^2(text(-)p) = (text(-)sin(p))^2 = sin^2(p) = f(0+p)` .
Als je uitgaat van een naar beide zijden oneindig doorlopende grafiek zijn er ook symmetriepunten. Je kunt de grafiek namelijk puntspiegelen in de punten `(1/4 pi + k*pi, 1/2)` en `(3/4 pi + k*pi, 1/2)` .
Vul `x = 1-p` en `x = 1+p` in:
`f(1-p) = ((1-p) - 1)^2 - 1 = (text(-)p)^2 - 1 = p^2 - 1`
`f(1+p) = ((1+p) - 1)^2 - 1 = (p)^2 - 1 = p^2 - 1`
Dus voor iedere willekeurige `p` is: `f(1-p) = f(1+p)` waarmee de gevraagde lijnsymmetrie is aangetoond.
`f(0 - p) = f(text(-)p) = (text(e)^(p^2) + 1)/(text(e))`
en
`f(0 + p) = (text(e)^(p^2) + 1)/(text(e))`
.
Er geldt dus
`f(0-p) = f(0+p)`
voor willekeurige
`p`
, dus de grafiek van
`f`
is symmetrisch ten opzichte van de
`y`
-as.
`g(text(-)p) = (sin^2(text(-)p))/(cos(text(-)p)) = ((text(-)sin(p))^2)/(cos(p)) = (sin^2(p))/(cos(p))
= g(p)`
Er geldt
`g(0-p) = g(0+p)`
voor alle
`p`
, dus de grafiek van
`g`
is symmetrisch ten opzichte van de
`y`
-as.
`h(text(-)p) = text(-)p^3 + p`
en
`h(p) = p^3 - p`
.
Dus
`h(0-p) = h(0+p)`
geldt niet voor alle
`p`
en de grafiek van
`h`
is niet symmetrisch ten opzichte van de
`y`
-as.
Tussen `P` en `(1-p, f(1-p))` : `Delta y = text(-)2 - (text(-)1/(p^3) - 2) = 1/(p^3)` .
Tussen `P` en `(1+p, f(1+p))` : `Delta y = 1/(p^3) - 2 - text(-)2 = 1/(p^3)` .
Tussen punt `(1-p, f(1-p))` en punt `P` is zowel het horizontale verschil als het verticale verschil gelijk aan dat tussen punt `P` en `(1+p, f(1+p))` . Omdat dit voor willekeurige `p` geldt, is `P` een symmetriepunt van de functie.
`(f(3 - p) + f(3 + p))/2 = 1/2*(1/((3 - p - 3)^5) + 4 + 1/((3 + p - 3)^5) + 4) = 4`
Dit is gelijk aan de `y` -coördinaat van het gegeven punt, dus `(3, 4)` is een symmetriepunt.
`(g(2 - p) + g(2 + p))/2 = 1/2*(((2 - p) - 3)/(2 - (2 - p)) + ((2 + p) - 3)/(2 - (2 + p)))`
`= 1/2*((text(-)1 - p)/p - (p - 1)/p) = 1/2*(text(-)(2p)/p) = text(-)1`
Dit is gelijk aan de `y` -coördinaat van het gegeven punt, dus `(2, text(-)1)` is een symmetriepunt.
`(h(2pi - p) + h(2pi + p))/2 = (sin(2pi - p) + sin(2pi + p))/2`
`= (sin(text(-)p) + sin(p))/2 = (text(-)sin(p) + sin(p))/2 = 0`
Dit is gelijk aan de `y` -coördinaat van het gegeven punt, dus `(2pi, 0)` is een symmetriepunt.
De sinusfunctie heeft de eigenschap:
`sin(x+pi) = sin(text(-)x)`
.
Dit geeft
`sin(pi-p) = sin(p)`
en
`sin^2(pi-p) = sin^2(p)`
.
De cosinusfunctie heeft de eigenschappen:
`cos(x+pi) = text(-)cos(x)`
en
`cos(text(-)x) = cos(x)`
.
Dit geeft:
`cos(pi-p) = text(-)cos(p)`
.
De lijnen `x = kpi` .
Gebruik dezelfde eigenschappen bij a: `f(kpi - p) = (text(-)3cos(p))/(1 + sin^2(p)) = f(kpi + p)` .
Voer de functie in met venster bijvoorbeeld `[text(-)2, 4]xx[text(-)10, 10]` .
`f` lijkt symmetrisch ten opzichte van `x = 1` .
Je moet aantonen dat `f(1+p) = f(1-p)` .
`f(1+p) = 3/((1+p)^2-2(1+p)) = 3/(1+2p+p^2-2-2p) = 3/(p^2-1)`
`f(1-p) = 3/((1-p)^2-2(1-p)) = 3/(1-2p+p^2-2+2p) = 3/(p^2-1)`
Dus `f` is symmetrisch ten opzichte van de lijn `x = 1` .
Gebruik de grafiek en/of transformaties. Het symmetriepunt lijkt `(text(-)3, 6)` te zijn.
`f(text(-)3 - p) = 6 - 1/2 (2(text(-)3 - p) + 6)^3 = 6 + 4p^3`
`f(text(-)3 + p) = 6 - 1/2 (2(text(-)3 + p) + 6)^3 = 6 - 4p^3`
Je ziet:
`(f(text(-)3 - p) + f(text(-)3 + p))/2 = (6 + 4p^3 + 6 - 4p^3)/2 = 6` .
Dus `f` is puntsymmetrisch in `(text(-)3, 6)` .
`f'(x) = text(-)3(2x + 6)^2`
Deze functie lijkt lijnsymmetrisch in
`x = text(-)3`
.
`f'(text(-)3 - p) = text(-)3(2(text(-)3 - p) + 6)^2 = text(-)12p^2`
`f'(text(-)3 + p) = text(-)3(2(text(-)3 + p) + 6)^2 = text(-)12p^2`
De grafiek van `f'` is dus lijnsymmetrisch in `x=text(-)3` .
`f`
heeft een verticale asymptoot als
`x + 3 = 0`
ofwel als
`x = text(-)3`
.
Verder heeft
`f`
een schuine asymptoot
`y = text(-)2x`
.
Invullen van
`x = text(-)3`
in de vergelijking van de schuine asymptoot geeft
`y = 6`
.
Dit zijn de coördinaten van
`P`
.
`f(text(-)3 - p) = 1/(text(-)3 - p + 3) - 2(text(-)3 - p) = text(-)1/p + 6 + 2p`
`f(text(-)3 + p) = 1/(text(-)3 + p + 3) - 2(text(-)3 + p) = 1/p + 6 - 2p`
`(f(text(-)3 - p) + f(text(-)3 + p))/2 = 1/2(text(-)1/p + 6 + 2p + 1/p + 6 - 2p) = 6`
Dus `P` is een symmetriepunt van de grafiek van `f` .
`f(1/4 pi - p) = cos(1/4 pi - p) + sin(1/4 pi - p) = sin(1/4 pi + p) + cos(1/4 pi + p)`
`f(1/4 pi + p) = cos(1/4 pi + p) + sin(1/4 pi + p)`
De grafiek van `f` is dus lijnsymmetrisch in `x = 1/4 pi` .
`f(3/4 pi - p) = cos(3/4 pi - p) + sin(3/4 pi - p) = text(-)sin(3/4 pi + p) - cos(3/4 pi + p)`
`f(3/4 pi + p) = sin(3/4 pi + p) + cos(3/4 pi + p)`
Dus `(f(3/4 pi - p) + f(3/4 pi + p))/2 = 0` .
De grafiek van `f` is dus puntsymmetrisch in `(3/4 pi, 0)` .
`f(text(-)p) = text(e)^(1/(text(-)p)^2) = text(e)^(1/(p^2)) = f(p)`
Je ziet dat `f(text(-)p)=f(p)` voor iedere willekeurige `p` , dus `f` is lijnsymmetrisch in `x=0` .
`f'(x) = text(-)2/(x^3) text(e)^(1/(x^2))`
`f'(text(-)p) = text(-)2/((text(-)p)^3)*text(e)^(1/((text(-)p)^2)) = 2/(p^3)text(e)^(1/(p^2))`
`f'(p) = text(-)2/(p^3)text(e)^(1/(p^2))`
Je ziet dat `(f'(text(-)p)+f'(p))/2 = 0` voor iedere willekeurige `p` , dus `f'` is puntsymmetrisch in `(0, 0)` .
`f(2-p) = (2-p-2)^4+(2-p)^2-4(2-p)+7 = p^4+p^2+3`
`f(2+p) = (2+p-2)^4+(2+p)^2-4(2+p)+7 = p^4+p^2+3`
Je ziet dat `f(2-p) = f(2+p)` voor willekeurige `p` , dus de grafiek van de functie is lijnsymmetrisch ten opzichte van `x = 2` .
Voer het functievoorschrift in met venster bijvoorbeeld `[text(-)4, 6]xx[text(-)2, 10]` .
Bedenk dat voor het domein van `f` geldt `x^2 - x ge 0` en dus `text(D)_f = (: larr, 0]uu[1, rarr:)` . De GR laat niet altijd de grafiek goed zijn op de randen van het domein.
`x = 1/2`
`f(1/2-p) = 2sqrt((1/2-p)^2-(1/2-p)) = 2sqrt(p^2-1/4)`
`f(1/2+p) = 2sqrt((1/2+p)^2-(1/2+p)) = 2sqrt(p^2-1/4)`
`f(1/2-p) = f(1/2+p)` voor willekeurige `p` , dus `f` is lijnsymmetrisch in `x = 1/2` .
`f(x) = cos^2(x) - sin^2(x) + 1 = cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) + 1 = 2cos^2(x) = cos(2x) + 1`
Als grafiek van
`f`
puntsymmetrisch is, dan moet dat in een punt op de evenwichtslijn zijn.
Nu is
`f(x) = 1`
als
`cos(2x) = 0`
en
`x = 1/4pi+k pi/2`
.
Een mogelijk symmetriepunt is dus
`(1/4 pi, 0)`
.
`f(1/4 pi - p) = cos(2(1/4pi - p)) + 1 = cos(1/2 pi - 2p) + 1 = text(-)cos(1/2 pi + 2p) + 1`
`f(1/4 pi + p) = cos(2(1/4 pi + p)) + 1 = cos(1/2 pi + 2p) + 1`
Dus `(f(1/4 pi - p) + f(1/4 pi + p))/2 = (text(-)cos(1/2 pi + 2p) + 1 + cos(1/2 pi + 2p) + 1)/2 = 1` .
De grafiek van `f` is puntsymmetrisch in `(1/4 pi , 1)` .
Bekijk de grafiek op je GR. Er lijkt sprake te zijn van puntsymmetrie in `(0, 0)` .
`f(text(-)p) = (2*text(-)p)/((text(-)p)^2+1) = (text(-)2p)/(p^2+1)`
`f(p) = (2p)/(p^2+1)`
Er geldt `(f(text(-)p)+f(p))/2 = 0` , dus `(0, 0)` is een symmetriepunt van `f` .
De grafiek van `f` voor `x lt 2` is een (deel van een) dalparabool met top `(0, text(-)2)` .
De grafiek van `f` voor `x ge 2` is een (deel van een) bergparabool met top `(4, 6)` door punt `(2, 2)` .
Voor
`x ge 2`
geldt dus
`f(x) = a(x-2)^2 + 6`
. Invullen van punt
`(2, 2)`
geeft
`a = text(-)1`
.
Dus
`f(x) = text(-)(x-4)^2 + 6`
.
Symmetrie controleren:
`f(2-p) = (2-p)^2-2 = p^2-4p+2`
`f(2+p) = text(-)(2+p-4)^2+6 = text(-)p^2+4p+2`
Dus `(f(2-p)+f(2+p))/2 = (p^2-4p+2-p^2+4p+2)/2 = 2` en de symmetrie klopt.
De kansdichtheidsfunctie wordt:
`f(x) = 1/(12sqrt(2pi))text(e)^(text(-)1/288(x-30)^2)`
Gezien de vorm van de normale verdelingskromme bekijk je of de grafiek van
`f`
lijnsymmetrisch is ten opzichte van
`x = 30`
.
`f(30-p) = 1/(12sqrt(2pi))text(e)^(text(-)1/288(30-p-30)^2) = 1/(12sqrt(2pi))text(e)^(text(-)1/288p^2)`
`f(30+p) = 1/(12sqrt(2pi))text(e)^(text(-)1/288(30+p-30)^2) = 1/(12sqrt(2pi))text(e)^(text(-)1/288p^2)`
Omdat `f(30-p) = f(30+p)` voor willekeurige `p` is de grafiek van `f` symmetrisch ten opzichte van de lijn `x = 30` .
Als de grafiek van
`f`
puntsymmetrisch is in
`(a, b)`
, dan is de grafiek van
`g(x) = f(x+a) - b`
puntsymmetrisch in
`(0, 0)`
.
Er geldt dan
`(g(text(-)p)+g(p))/2 = 0`
, ofwel
`g(text(-)p) = text(-)g(p)`
.
Differentieer beide zijden van deze vergelijking:
`text(d)/(text(d)p)g(text(-)p) = text(-)g'(text(-)p)`
en
`text(d)/(text(d)p)text(-)g(p) = text(-)g'(p)`
.
De vergelijking wordt:
`text(-)g'(text(-)p) = text(-)g'(p)`
, ofwel
`g'(text(-)p) = g'(p)`
.
Hieruit volgt dat de grafiek van de afgeleide functie
`g'`
lijnsymmetrisch is in
`x = 0`
.
Omdat `g` ontstaat na een translatie van `f` , is de grafiek van de afgeleide functie `f'` ook lijnsymmetrisch, in `x=a` .
Voer het functievoorschrift in met venster bijvoorbeeld `[text(-)2, 2]xx[text(-)4, 2]` .
Symmetrieas `x = 0` .
`f(text(-)p) = ln(1 - (text(-)p)^2) = ln(1 - p^2) = f(p)`
Er geldt `f(text(-)p) = f(p)` voor willekeurige `p` waarvoor de functie gedefinieerd is, dus de grafiek is lijnsymmetrisch in `x = 0` .
`f(1/2 pi-p) = (3cos(1/2 pi-p))/(1 + sin^2(1/2 pi-p)) = (text(-)3cos(1/2 pi+p))/(1 + sin^2(1/2 pi+p))`
`f(1/2 pi+p) = (3cos(1/2 pi+p))/(1 + sin^2(1/2 pi+p))`
Dus `(f(1/2 pi + p) + f(1/2 pi - p))/2 = 0` en de functie `f` is puntsymmetrisch in `(1/2 pi , 0)` .