Functieonderzoek > Symmetrie
12345Symmetrie

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Venster b.v. .

b

.

Opgave 1
a



b

Ieder opeenvolgend getallenpaar ligt even ver van de symmetrieas af.

Opgave 2

Vul en in:

is willekeurig gekozen. Als een symmetrieas zou zijn, zou voor iedere willekeurige moeten gelden:

De vergelijking geldt niet voor iedere willekeurige .
De lijn is dus geen symmetrieas van de grafiek van .

Opgave 3
a

De grafiek van is symmetrisch ten opzichte van de -as.

b

De grafiek van is symmetrisch ten opzichte van de -as .

c

De grafiek van is niet symmetrisch ten opzichte van de -as.

Opgave 4
a

Beide keren geldt:

b

Tussen punt en punt is zowel de horizontale afstand als de verticale afstand gelijk aan die tussen punt en . Omdat dit voor willekeurige geldt, is een symmetriepunt van de functie.

Opgave 5
a

is een symmetriepunt.

b

is geen symmetriepunt.

c

is een symmetriepunt.

Opgave 6
a

is een symmetriepunt.

b

is geen symmetriepunt

c

is een symmetriepunt

Opgave 7
a

Deze stap kun je nemen als en dit is waar voor alle .
Bovendien geldt en omdat de symmetrie van al aangetoond was, is symmetrisch in .

b

. Met andere woorden, de grafiek van is ontstaan uit de grafiek van na een horizontale translatie van en een verticale translatie van .

De symmetrieas wordt daarbij ook getransleerd.

De grafiek van de functie is daarom symmetrisch in de lijn

Opgave 8
a

lijkt symmetrisch ten opzichte van .

b

Je moet aantonen dat .

en is symmetrisch in .

Opgave 9
a

Dus is lijnsymmetrisch in .

b

Je ziet dat voor iedere willekeurige , dus is lijnsymmetrisch in .

Opgave 10

Er geldt:

De functie is ontstaan uit functie , na een horizontale translatie van 2 en een verticale translatie van 2. Het symmetriepunt verschuift dus ook met 2 in beide richtingen:

Opgave 11
a

heeft een verticale asymptoot als ofwel als .
Verder heeft een schuine asymptoot .
Invullen van in de vergelijking van de schuine asymptoot geeft .
Dit correspondeert met de co├Ârdinaten van .

b

is een symmetriepunt als:

Opgave 12
a

b

Je ziet:

Dus is puntsymmetrisch in .

c


Deze functie lijkt lijnsymmetrisch in .

De lijn is dus lijnsymmetrisch in .

Opgave 13
a

De sinusfunctie heeft de eigenschap:

Dit geeft:

De cosinusfunctie heeft de eigenschappen:
en
Dit geeft:

b

c

De eigenschappen voor de cosinus en sinus omschreven in het antwoord van deelvraag a gelden ook voor en . Kortom:

Opgave 14

Je moet aantonen dat:

Ofwel dat:

Met de eenheidscirkel kun je zien dat:

De functie is dus puntsymmetrisch in .

Opgave 15
a

Je moet aantonen dat:

De grafiek van is dus lijnsymmetrisch in .

b

Je moet aantonen dat:
Ofwel dat:

De grafiek van is dus puntsymmetrisch in .

Opgave 16
a

Je ziet dat voor iedere willekeurige , dus is lijnsymmetrisch in .

b

Je ziet dat voor iedere willekeurige , dus is puntsymmetrisch in .

Opgave 17

De de grafiek van de functie is lijnsymmetrisch ten opzichte van als voor willekeurige geldt:

Er geldt:

Je ziet dat voor willekeurige , dus de grafiek van de functie is lijnsymmetrisch ten opzichte van .

Opgave 18
a
b

c

voor willekeurige , dus is lijnsymmetrisch in .

Opgave 19

Herleid functie .

De grafiek van functie heeft evenwichtsstand , dus als deze puntsymmetrisch is dan is dat in , met een nader te bepalen .
Er geldt als ofwel wanneer
Neem bijvoorbeeld .

Dus de grafiek van is puntsymmetrisch in .

Opgave 20

De kansdichtheidsfunctie wordt:

Gezien de vorm van de normale verdelingskromme bekijk je of de grafiek van lijnsymmetrisch is ten opzichte van .

Er geldt voor willekeurige , dus de grafiek van is symmetrisch ten opzichte van

Opgave 21

Er lijkt sprake te zijn van puntsymmetrie in .

Er geldt , dus is een symmetriepunt van .

Opgave 22

Bepaal het functievoorschrift voor het blauwe gedeelte van de grafiek in de figuur.

Dit is een bergparabool met een top in punt door punt .

Je vindt voor . Invullen van punt geeft :
voor

Controleren geeft:

Opgave 23

Als de grafiek van puntsymmetrisch is in , dan is de grafiek van puntsymmetrisch in .
Er geldt dan , ofwel .

Differentieer beide zijden van deze vergelijking.


De vergelijking wordt:
, ofwel .
Hieruit volgt dat de grafiek van de afgeleide functie lijnsymmetrisch is in .

Omdat ontstaat na een een translatie van , is de grafiek van de afgeleide functie ook lijnsymmetrisch, in .

Opgave 24
a
b

Lees in de figuur bij a af dat de grafiek lijnsymmetrisch is in .

c

Er geldt voor willekeurige waarvoor de functie gedefinieerd is, dus de grafiek is lijnsymmetrisch in .

verder | terug