Functieonderzoek > Symmetrie
12345Symmetrie

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Venster b.v. `[text(-)2pi, 2pi] xx [text(-)1, 2]` .

b

`f(0-p)=sin^2(text(-)p)=(text(-)sin(p))^2=sin^2(p)=f(0+p)` .

Opgave 1
a

`f(0)=f(2)=1`
`f(text(-)1)=f(3)=1/4`
`f(text(-)5)=f(7)=1/36`

b

Ieder opeenvolgend getallenpaar ligt even ver van de symmetrieas af.

Opgave 2

Vul `x=2-p` en `x=2+p` in:

`f(2-p)`

`=`

`((2-p)-1)^2-1`

` `

`=`

`(1-p)^2-1`

` `

`=`

`p^2-2p`

`f(2+p)`

`=`

`((2+p)-1)^2-1`

` `

`=`

`(1+p)^2-1`

` `

`=`

`p^2+2p`

`p` is willekeurig gekozen. Als `x=2` een symmetrieas zou zijn, zou voor iedere willekeurige `p` moeten gelden:

`f(2-p)`

`=`

`f(2+p)`

`p^2-2p`

`=`

`p^2+2p`

`text(-)4p`

`=`

`0`

`p`

`=`

`0`

De vergelijking geldt niet voor iedere willekeurige `p` .
De lijn `x=2` is dus geen symmetrieas van de grafiek van `f` .

Opgave 3
a

De grafiek van `f` is symmetrisch ten opzichte van de `y` -as.

b

De grafiek van `g` is symmetrisch ten opzichte van de `y` -as .

c

De grafiek van `h` is niet symmetrisch ten opzichte van de `y` -as.

Opgave 4
a

Beide keren geldt:
`Deltay=1/p^3`

b

Tussen punt `(1-p,f(1-p))` en punt `P` is zowel de horizontale afstand als de verticale afstand gelijk aan die tussen punt `P` en `(1+p,f(1+p))` . Omdat dit voor willekeurige `p` geldt, is `P` een symmetriepunt van de functie.

Opgave 5
a

`(3,4)` is een symmetriepunt.

b

`(2,2)` is geen symmetriepunt.

c

`(2pi,0)` is een symmetriepunt.

Opgave 6
a

`(2,text(-)1)` is een symmetriepunt.

b

`(1,3)` is geen symmetriepunt

c

`(1 1/2pi,0)` is een symmetriepunt

Opgave 7
a

`f(x)`

`=`

`ln(1/x^2)+2`

` `

`=`

`ln((x^2)^(text(-)1))+2`

` `

`=`

`text(-)ln(x^2)+2`

Deze stap kun je nemen als `1/x^2>0` en dit is waar voor alle `x` .
Bovendien geldt `f(x)=g(x)` en omdat de symmetrie van `f(x)` al aangetoond was, is `g(x)` symmetrisch in `x=0` .

b

`h(x)=f(x+2)-2` . Met andere woorden, de grafiek van `h` is ontstaan uit de grafiek van `f` na een horizontale translatie van `text(-)2` en een verticale translatie van `text(-)2` .

De symmetrieas `x=0` wordt daarbij ook getransleerd.

De grafiek van de functie `h` is daarom symmetrisch in de lijn `x=0-2=text(-)2`

Opgave 8
a

`f` lijkt symmetrisch ten opzichte van `x=1` .

b

Je moet aantonen dat `f(1+p)=f(1-p)` .

`f(1+p)`

`=`

`3/((1+p)^2-2(1+p))`

` `

`=`

`3/(1+2p+p^2-2-2p)`

` `

`=`

`3/(p^2-1)`

`f(1-p)`

`=`

`3/((1-p)^2-2(1-p))`

` `

`=`

`3/(1-2p+p^2-2+2p)`

` `

`=`

`3/(p^2-1)`

`f(1+p)=f(1-p)` en `f` is symmetrisch in `x=1` .

Opgave 9
a

`x^2-6x=(x-3)^2-9`

Dus `f` is lijnsymmetrisch in `x=3` .

b

`f(3-p)`

`=`

`(3-p-3)^2-9`

`=`

`(text(-)p)^2-9`

`=`

`p^2-9`

`f(3+p)`

`=`

`(3+p-3)^2-9`

`=`

`p^2-9`

Je ziet dat `f(3-p)=f(3+p)` voor iedere willekeurige `p` , dus `f` is lijnsymmetrisch in `x=3` .

Opgave 10

Er geldt:
`g(x)=f(x-2)+2`
De functie `g` is ontstaan uit functie `f` , na een horizontale translatie van 2 en een verticale translatie van 2. Het symmetriepunt verschuift dus ook met 2 in beide richtingen:
`Q=(1+2, 4+2)=(3, 6)`

Opgave 11
a

`f` heeft een verticale asymptoot als `x+3=0` ofwel als `x=text(-)3` .
Verder heeft `f` een schuine asymptoot `y=text(-)2x` .
Invullen van `x=text(-)3` in de vergelijking van de schuine asymptoot geeft `y=6` .
Dit correspondeert met de coördinaten van `P` .

b

`P` is een symmetriepunt als:
`(f(text(-)3-p)+f(text(-)3+p))/2=6`

Opgave 12
a

`(text(-)3,6)`

b

`f(text(-)3-p)`

`=`

`6-1/2(2(text(-)3-p)+6)^3`

`=`

`6-1/2(-6-2p+6)^3`

`=`

`6-1/2(text(-)2p)^3`

`=`

`6+4p^3`

`f(text(-)3+p)`

`=`

`6-1/2(2(text(-)3+p)+6)^3`

`=`

`6-1/2(text(-)6+2p+6)^3`

`=`

`6-4p^3`

Je ziet:

`(f(text(-)3-p)+f(text(-)3+p))/2`

`=`

`(6+4p^3+6-4p^3)/2`

`=`

`12/2`

`=`

`6`

Dus `f` is puntsymmetrisch in `(text(-)3,6)` .

c

`f'(x)=text(-)3(2x+6)^2`
Deze functie lijkt lijnsymmetrisch in `x=text(-)3` .

`f'(text(-)3-p)`

`=`

`text(-)3(2(text(-)3-p)+6)^2`

`=`

`text(-)3(text(-)6-2p+6)^2`

`=`

`text(-)3(text(-)2p)^2`

`=`

`text(-)12p^2`

`f'(text(-)3+p)`

`=`

`text(-)3(2(text(-)3+p)+6)^2`

`=`

`text(-)3(text(-)6+2p+6)^2`

`=`

`text(-)3(2p)^2`

`=`

`text(-)12p^2`

De lijn is dus lijnsymmetrisch in `x=text(-)3` .

Opgave 13
a

De sinusfunctie heeft de eigenschap:
`sin(x+pi)=sin(text(-)x)`
Dit geeft:
`sin(pi-p)=sin(p)`
`sin^2(pi-p)=sin^2(p)`

De cosinusfunctie heeft de eigenschappen:
`cos(x+pi)=text(-)cos(x)` en `cos(text(-)x)=cos(x)`
Dit geeft:
`cos(pi-p)=text(-)cos(p)`

b

`x=kpi`

c

De eigenschappen voor de cosinus en sinus omschreven in het antwoord van deelvraag a gelden ook voor `x=kpi-p` en `x=kpi+p` . Kortom:
`f(kpi-p)=((text(-)3cos(p))/(1+sin^2(p)))=f(kpi+p)`

Opgave 14

Je moet aantonen dat: `(f( 1/2pi -p)+f( 1/2pi +p))/2=0`

Ofwel dat: `f(1/2pi-p)=text(-)f(1/2pi+p)`

Met de eenheidscirkel kun je zien dat:

`f(1/2pi-p)`

`=`

`(3cos(1/2pi-p))/(1+sin^2(1/2pi-p))`

` `

`=`

`(text(-)3cos(1/2pi+p))/(1+sin^2( 1/2pi +p))`

` `

`=`

`text(-)f( 1/2pi +p)`

De functie `f` is dus puntsymmetrisch in `( 1/2pi , 0)` .

Opgave 15
a

Je moet aantonen dat: `f(1/4pi-p)=f(1/4pi+p)`

`f(1/4pi-p)`

`=`

`cos(1/4pi-p)+sin(1/4pi-p)`

` `

`=`

`cos(text(-)1/4pi+p)+cos(text(-)1/4pi-p)`

` `

`=`

`sin(1/4pi+p)+cos(1/4pi+p)`

`f(1/4pi+p)`

`=`

`cos(1/4pi+p)+sin(1/4pi+p)`

De grafiek van `f` is dus lijnsymmetrisch in `x=1/4pi` .

b

Je moet aantonen dat: `(f(3/4pi-p)+f(3/4pi+p))/2=0`
Ofwel dat: `f(3/4pi-p)=text(-)f(3/4pi+p)`

`f(3/4pi-p)`

`=`

`cos(3/4pi-p)+sin(3/4pi-p)`

` `

`=`

`cos(text(-)3/4pi+p)-sin(text(-)3/4pi+p)`

` `

`=`

`text(-)sin(3/4pi+p)-cos(3/4pi+p)`

`text(-)f(3/4pi+p)`

`=`

`text(-)sin(3/4pi+p)-cos(3/4pi+p)`

De grafiek van `f` is dus puntsymmetrisch in `(3/4pi,0)` .

Opgave 16
a

`f(text(-)p)`

`=`

`e^(1/(text(-)p)^2)`

` `

`=`

`e^(1/p^2)`

`f(p)`

`=`

`e^(1/p^2)`

Je ziet dat `f(text(-)p)=f(p)` voor iedere willekeurige `p` , dus `f` is lijnsymmetrisch in `x=0` .

b

`f'(x)=text(-)2/x^3e^(1/x^2)`

`f'(text(-)p)`

`=`

`text(-)2/(text(-)p)^3*e^(1/(text(-)p)^2)`

` `

`=`

`2/p^3e^(1/p^2)`

`f'(p)`

`=`

`text(-)2/p^3e^(1/p^2)`

Je ziet dat `(f'(text(-)p)+f'(p))/2=0` voor iedere willekeurige `p` , dus `f'` is puntsymmetrisch in `(0,0)` .

Opgave 17

De de grafiek van de functie is lijnsymmetrisch ten opzichte van `x=2` als voor willekeurige `p` geldt:
`f(2-p)=f(2+p)`
Er geldt:

`f(2-p)`

`=`

`(2-p-2)^4+(2-p)^2-4(2-p)+7`

` `

`=`

`p^4+4-4p+p^2-8+4p+7`

` `

`=`

`p^4+p^2+3`

`f(2+p)`

`=`

`(2+p-2)^4+(2+p)^2-4(2+p)+7`

` `

`=`

`p^4+4+4p+p^2-8-4p+7`

` `

`=`

`p^4+p^2+3`

Je ziet dat `f(2-p)=f(2+p)` voor willekeurige `p` , dus de grafiek van de functie is lijnsymmetrisch ten opzichte van `x=2` .

Opgave 18
a
b

`x=1/2`

c

`f(1/2-p)`

`=`

`2sqrt((1/2-p)^2-(1/2-p))`

` `

`=`

`2sqrt(1/4-p+p^2-1/2+p)`

` `

`=`

`2sqrt(p^2-1/4)`

`f(1/2+p)`

`=`

`2sqrt((1/2+p)^2-(1/2+p))`

` `

`=`

`2sqrt(1/4+p+p^2-1/2-p)`

` `

`=`

`2sqrt(p^2-1/4)`

`f(1/2-p)=f(1/2+p)` voor willekeurige `p` , dus `f` is lijnsymmetrisch in `x=1/2` .

Opgave 19

Herleid functie `f` .

`f(x)`

`=`

`cos^2(x)-sin^2(x)+1`

` `

`=`

`cos^2(x)-(1-cos^2(x))+1`

` `

`=`

`2cos^2(x)`

` `

`=`

`cos(2x)+1`

De grafiek van functie `f` heeft evenwichtsstand `1` , dus als deze puntsymmetrisch is dan is dat in `(a,1)` , met een nader te bepalen `a` .
Er geldt `f(x)=1` als `cos(2x)=0` ofwel wanneer `x=1/4pi+k pi/2`
Neem bijvoorbeeld `a= 1/ 4 pi` .

`f( 1/ 4 pi -p)`

`=`

`cos(2( 1/4pi -p))+1`

` `

`=`

`cos( 1/2pi -2p)+1`

` `

`=`

`text(-)cos( 1/ 2 pi +2p)+1`

`f( 1/ 4 pi +p)`

`=`

`cos(2( 1/ 4 pi +p))+1`

` `

`=`

`cos( 1/ 2 pi +2p)+1`

`(f( 1/ 4 pi -p)+f(pi/4+p))/2`

`=`

`(text(-)cos( 1/ 2 pi +2p)+1+cos( 1/ 2 pi +2p)+1)/2`

` `

`=`

`1`

Dus de grafiek van `f` is puntsymmetrisch in `( 1/ 4 pi , 1)` .

Opgave 20

De kansdichtheidsfunctie wordt:
`f(x)=1/(12sqrt(2pi))text(e)^(text(-)1/288(x-30)^2)`
Gezien de vorm van de normale verdelingskromme bekijk je of de grafiek van `f` lijnsymmetrisch is ten opzichte van `x=30` .

`f(30-p)`

`=`

`1/(12sqrt(2pi))text(e)^(text(-)1/288(30-p-30)^2)`

` `

`=`

`1/(12sqrt(2pi))text(e)^(text(-)1/288p^2)`

`f(30+p)`

`=`

`1/(12sqrt(2pi))text(e)^(text(-)1/288(30+p-30)^2)`

` `

`=`

`1/(12sqrt(2pi))text(e)^(text(-)1/288p^2)`

Er geldt `f(30-p)=f(30+p)` voor willekeurige `p` , dus de grafiek van `f` is symmetrisch ten opzichte van `x=30`

Opgave 21

Er lijkt sprake te zijn van puntsymmetrie in `(0,0)` .

`f(text(-)p)`

`=`

`(2*text(-)p)/((text(-)p)^2+1)`

` `

`=`

`(text(-)2p)/(p^2+1)`

`f(p)`

`=`

`(2p)/(p^2+1)`

Er geldt `(f(text(-)p)+f(p))/2=0` , dus `(0,0)` is een symmetriepunt van `f` .

Opgave 22

Bepaal het functievoorschrift voor het blauwe gedeelte van de grafiek in de figuur.

Dit is een bergparabool met een top in punt `(4, 6)` door punt `(2, 2)` .

Je vindt `f(x)=a(x-2)^2+6` voor `xge2` . Invullen van punt `(2, 2)` geeft `a=text(-)1` :
`f(x)=text(-)(x-4)^2+6` voor `xge2`

Controleren geeft:

`f(2-p)`

`=`

`(2-p)^2-2`

` `

`=`

`4-4p+p^2-2`

` `

`=`

`p^2-4p+2`

`f(2+p)`

`=`

`text(-)(2+p-4)^2+6`

` `

`=`

`text(-)(p^2-4p+4)+6`

` `

`=`

`text(-)p^2+4p+2`

`(f(2-p)+f(2+p))/2`

`=`

`(p^2-4p+2-p^2+4p+2)/2`

` `

`=`

`2`

Opgave 23

Als de grafiek van `f` puntsymmetrisch is in `(a,b)` , dan is de grafiek van `g(x)=f(x+a)-b` puntsymmetrisch in `(0,0)` .
Er geldt dan `(g(text(-)p)+g(p))/2=0` , ofwel `g(text(-)p)=text(-)g(p)` .

Differentieer beide zijden van deze vergelijking.
`text(d)/(text(d)p)g(text(-)p)=text(-)g'(text(-)p)`
`text(d)/(text(d)p)text(-)g(p)=text(-)g'(p)`
De vergelijking wordt:
`text(-)g'(text(-)p)=text(-)g'(p)` , ofwel `g'(text(-)p)=g'(p)` .
Hieruit volgt dat de grafiek van de afgeleide functie `g'` lijnsymmetrisch is in `x=0` .

Omdat `g` ontstaat na een een translatie van `f` , is de grafiek van de afgeleide functie `f'` ook lijnsymmetrisch, in `x=a` .

Opgave 24
a
b

Lees in de figuur bij a af dat de grafiek lijnsymmetrisch is in `x=0` .

c

`f(text(-)p)`

`=`

`ln(1-(text(-)p)^2)`

` `

`=`

`ln(1-p^2)`

`f(p)`

`=`

`ln(1-p^2)`

Er geldt `f(text(-)p)=f(p)` voor willekeurige `p` waarvoor de functie gedefinieerd is, dus de grafiek is lijnsymmetrisch in `x=0` .

verder | terug