Functieonderzoek > Symmetrie
12345Symmetrie

Voorbeeld 2

Gegeven is: `f(x)=x^3-3x^2+3x+3`
Toon aan dat de grafiek van deze functie puntsymmetrisch is in `P(1, 4)` .

> antwoord

De grafiek is puntsymmetrisch in `P(1, 4)` als voor willekeurige `p` geldt:
`(f(1+p)+f(1-p))/2=4`
Dat wil zeggen, het gemiddelde van de functiewaarden van twee punten die op gelijke afstand `p` van het symmetriepunt op de grafiek liggen moet gelijk zijn aan de `y` -co├Ârdinaat van `P` .

Er geldt:

`f(1-p)`

`=`

`(1-p)^3-3(1-p)^2+3(1-p)+3`

` `

`=`

`text(-)p^3+3p^2-3p+1-3+6p-3p^2+3-3p+3`

` `

`=`

`text(-)p^3+4`

`f(1+p)`

`=`

`(1+p)^3-3(1+p)^2+3(1+p)+3`

` `

`=`

`p^3+3p^2+3p+1-3-6p-3p^2+3+3p+3`

` `

`=`

`p^3+4`

Hieruit volgt:

`(f(1-p)+f(1+p))/2 = (text(-)p^3+4+p^3+4)/2 = 8/2 = 4`

Dit is gelijk aan de `y` -co├Ârdinaat van `P` , dus `f` is puntsymmetrisch in `P(1,4)` .

Opgave 10

Bekijk het voorbeeld.
Toon aan dat de functie `g(x)=(x-2)^3-3(x-2)^2+3(x-2)+5` puntsymmetrisch is in `Q(3, 6)` .

Opgave 11

Gegeven is de functie: `f(x)=1/(x+3)-2x`

a

Toon aan dat `P(text(-)3, 6)` het snijpunt is van de asymptoten van `f` .

b

Toon aan dat `P` een symmetriepunt is van `f` .

Opgave 12

Gegeven is de functie: `f(x)=6-1/2(2x+6)^3`

a

Bepaal het punt van symmetrie.

b

Bewijs dat de grafiek van `f` puntsymmetrisch is.

c

Bewijs dat de grafiek van `f'` ook punt- of lijnsymmetrisch is.

verder | terug