Functieonderzoek > SymmetrieVoorbeeld 2
Gegeven is:
`f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 3`
.
Toon aan dat de grafiek van deze functie puntsymmetrisch is in
`P(1, 4)`
.
De grafiek is puntsymmetrisch in
`P(1, 4)`
als voor willekeurige
`p`
geldt:
`(f(1 + p) + f(1 - p))/2 = 4`
Dat wil zeggen, het gemiddelde van de functiewaarden van twee punten die op gelijke
afstand
`p`
van het symmetriepunt op de grafiek liggen moet gelijk zijn aan de
`y`
-coördinaat van
`P`
.
Er geldt:
|
`f(1-p)` |
`=` |
`(1-p)^3-3(1-p)^2+3(1-p)+3` |
|
|
` ` |
`=` |
`text(-)p^3+3p^2-3p+1-3+6p-3p^2+3-3p+3` |
|
|
` ` |
`=` |
`text(-)p^3+4` |
|
`f(1+p)` |
`=` |
`(1+p)^3-3(1+p)^2+3(1+p)+3` |
|
|
` ` |
`=` |
`p^3+3p^2+3p+1-3-6p-3p^2+3+3p+3` |
|
|
` ` |
`=` |
`p^3+4` |
Hieruit volgt: `(f(1-p)+f(1+p))/2 = (text(-)p^3+4+p^3+4)/2 = 8/2 = 4`
Dit is gelijk aan de `y` -coördinaat van `P` , dus `f` is puntsymmetrisch in `P(1, 4)` .
Gegeven is de functie: `f(x) = 6 - 1/2 (2x + 6)^3` .
Bepaal het punt van symmetrie.
Bewijs dat de grafiek van `f` puntsymmetrisch is.
Bewijs dat de grafiek van `f'` ook punt- of lijnsymmetrisch is.
Gegeven is de functie: `f(x) = 1/(x+3) - 2x` .
Toon aan dat `P(text(-)3, 6)` het snijpunt is van de asymptoten van `f` .
Toon aan dat `P` een symmetriepunt is van `f` .
Gegeven is de functie: `f(x) = cos(x) + sin(x)` .
Toon aan dat de grafiek van de functie `f` lijnsymmetrisch is in de lijn `x = 1/4 pi` .
Toon aan dat de grafiek van de functie `f` puntsymmetrisch is in het punt `(3/4 pi, 0)` .