Functieonderzoek > Raakproblemen
12345Raakproblemen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Twee grafieken (die niet beide een rechte lijn zijn) raken elkaar als ze een punt gemeen hebben en in dat punt dezelfde richting hebben.

b

De grafieken van en moeten een gemeenschappelijk punt hebben, dus .

De grafieken van en moeten in het gemeenschappelijke punt dezelfde helling hebben, dus ook .

Je ziet dat . Daarnaast zie je door differentiëren dat en , dus is ook . Dus de functies en raken elkaar in de oorsprong.

c

geeft .

Dus de -coördinaat van het andere snijpunt is , met -coördinaat .

d

Bepaal de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen van en in het punt .

en .

De hoek tussen beide raaklijnen vind je bijvoorbeeld met het inproduct van en of door te gebruiken dat de tangens van de richtingshoek gelijk is aan de r.c. van een lijn.

Dit alles levert alleen de juiste hoek op als je op beide assen dezelfde schaalverdeling hebt, dus in een cartesisch assenstelsel.

Opgave 1
a

geeft , dus .

Dit levert op en .

Snijpunten en .

en .

In is en .

In is en .

Dus de grafieken van en raken elkaar in beide punten.

b

geeft en .

Dit levert op , zodat .

In is en .

Inderdaad is .

c

Omdat de raaklijnen aan de grafieken van en in hetzelfde zijn.

Opgave 2
a

geeft en dus .

Het tweede snijpunt is .

b

en .

De raaklijn aan maakt een hoek van met de positieve -as.

De grafiek van maakt een hoek van met de positieve -as.

De hoek tussen beide lijnen is daarom .

Je kunt ook werken met het inproduct van beide richtingsvectoren.

c

In een cartesisch assenstelsel is de schaal van beide assen hetzelfde. En alleen daarin kun je richtingen en hoeken correct weergeven.

Opgave 3
a

De helling is nu negatief dus hiervoor geldt: .
Invullen van geeft: .
De raaklijn heeft dus de vergelijking: .

b

Nee. Het punt ligt boven de kromme, dus iedere (niet-verticale) lijn door snijdt de grafiek in twee punten. De verticale lijn kan geen raaklijn zijn, omdat de helling van de grafiek daar is.

Opgave 4

De raaklijnen zijn van de vorm , omdat ze door gaan.
Er geldt: dus .
Dit geeft en dus:

Met geeft dit .
De twee raaklijnen zijn: en .

Opgave 5
a

geeft en .

Dit geeft en .

b

In is en .

De raaklijn aan de grafiek van heeft een richtingshoek van .

De raaklijn aan de grafiek van heeft een richtingshoek van .

Beide grafieken maken daarom een (scherpe) hoek van .

Opgave 6

geeft , ofwel de grafieken snijden elkaar als of .

en .

De -coördinaten van de snijpunten invoeren geeft:
en .
en .
Bij beide snijpunten gelden zowel als niet, dus de grafieken raken elkaar niet, en snijden elkaar ook niet loodrecht.

Opgave 7

Werk op dezelfde wijze als in het voorbeeld. Je vindt en .

De waarden van kunnen door afronding iets verschillen.

Opgave 8

geeft .

Dan is of .

De raaklijnen worden en .

Opgave 9

geeft het snijpunt op .
Er geldt: dus .
En: dus .
Je ziet dat dus in het snijpunt staan en loodrecht op elkaar.

Opgave 10

De raaklijn gaat door en raakt de grafiek van in .
Er geldt: .
Dit geeft en .

Omdat de lijn door gaat is .
De raaklijn is dus: .

Opgave 11
a

geeft en .
Omdat zijn de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen en .
Hiervoor geldt niet , dus de raaklijnen staan niet loodrecht op elkaar.

b

en . Dus de scheve asymptoot is .

c

De scheve asymptoot heeft helling , dus een raaklijn die daar loodrecht op staat heeft helling . De raaklijn zou dus van de vorm zijn.

Stel dat de lijn de grafiek van raakt in , dan moet er gelden: .

en .

Verder moet gelden dat .

Dit geeft of .

De raaklijnen loodrecht op de scheve asymptoot zijn dus en .

Opgave 12

Vanwege de symmetrie van de situatie bekijk je alleen het snijpunt .

met hellingshoek .

met hellingshoek .

Beide grafieken snijden elkaar steeds onder een hoek van ongeveer .

Opgave 13

De lijn met gaat door en snijdt de grafiek van loodrecht in .
Er geldt: en .

Dit geeft: .

Oplossen met de GR geeft ; en . De eerste waarde van leidt tot een negatieve waarde van , dus die valt af. De andere twee waarden van geven respectievelijk en .
Omdat de lijn door gaat geldt:
dus of dus .
De raaklijnen zijn: en .

Opgave 14Een gemeenschappelijke raaklijn
Een gemeenschappelijke raaklijn
a

De raaklijn is van de vorm: .
Hierbij is: .
Invullen van geeft: .
heeft de vergelijking: .

b

De helling van is gelijk aan en ook aan . Tevens is de helling gelijk aan de differentiequotiënt tussen en : .

c

Er geldt: .

Deze uitdrukking kun je weer invullen in :

d

De vergelijking uit c oplossen met de GR geeft (de andere oplossingen kunnen niet omdat die impliceren dat of ). De richtingscoëfficiënt van is dus .

(bron: examen wiskunde B1,2 in 2009, eerste tijdvak)

Opgave 15

Opgave 16
a

Nulpunten en .

Je vindt randmax en min..

b

en ongeveer .

c

verder | terug