Functieonderzoek > RaakproblemenAntwoorden van de opgaven
Twee grafieken (die niet beide een rechte lijn zijn) raken elkaar als ze een punt gemeen hebben en in dat punt dezelfde richting hebben.
De grafieken van `f` en `g` moeten een gemeenschappelijk punt hebben, dus `f(x) = g(x)` .
De grafieken van `f` en `g` moeten in het gemeenschappelijke punt dezelfde helling hebben, dus ook `f'(x) = g'(x)` .
Je ziet dat `f(0) = g(0) = 0` . Daarnaast zie je door differentiëren dat `f'(x) = 2x` en `g'(x) = 3x^2` , dus is ook `f'(0) = g'(0) = 0` . Dus de functies `f` en `g` raken elkaar in de oorsprong.
`x^2 = x^3` geeft `x = 0 vv x = 1` .
Dus de `x` -coördinaat van het andere snijpunt is `x = 1` , met `y` -coördinaat `f(1) = 1` .
Bepaal de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen van `f` en `g` in het punt `(1, 1)` .
`rc_f = f'(1) = 2` en `rc_g = g'(1) = 3` .
De hoek tussen beide raaklijnen vind je bijvoorbeeld met het inproduct van `((1),(2))` en `((1),(3))` of door te gebruiken dat de tangens van de richtingshoek gelijk is aan de r.c. van een lijn.
Dit alles levert alleen de juiste hoek op als je op beide assen dezelfde schaalverdeling hebt, dus in een cartesisch assenstelsel.
`f(x) = g(x)` geeft `(2x)/(x^2+1) = x^2+2x` , dus `2x = (x^2 + 2x)(x^2 + 1)` .
Dit levert op `x^4 + 2x^3 + x^2 = x^2(x^2 + 2x + 1) = 0` en `x = 0 vv x = text(-)1` .
Snijpunten `(0, 0)` en `(text(-)1, text(-)1)` .
`f'(x) = (text(-)2x^2 + 2)/((x^2 + 1)^2)` en `g'(x) = 2x+2` .
In `(0, 0)` is `f'(0) = 2` en `g'(0) = 2` .
In `(text(-)1, text(-)1)` is `f'(text(-)1) = 0` en `g'(text(-)1) = 0` .
Dus de grafieken van `f` en `g` raken elkaar in beide punten.
`f(x) = h(x)` geeft `(2x)/(x^2+1) = text(-)1/2 x` en `2x = text(-)1/2 x(x^2 + 1)` .
Dit levert op `x^3 + 5x = x(x^2+5) = 0` , zodat `x=0` .
In `(0, 0)` is `f'(0) = 2` en `h'(0) = text(-)1/2` .
Inderdaad is `f'(0)*h'(0) = 2*text(-)1/2 = text(-)1` .
Omdat de raaklijnen aan de grafieken van `f` en `g` in `(0, 0)` hetzelfde zijn.
`g(x) = h(x)` geeft `x^2 + 2x = text(-)1/2 x` en dus `x^2 + 2,5x = x(x+2,5)=0` .
Het tweede snijpunt is `(text(-)2,5; 1,25)` .
`g'(text(-)2,5) = text(-)3` en `h'(text(-)2,5) = text(-)0,5` .
De raaklijn aan `g` maakt een hoek van `arctan(text(-)3)~~text(-)71,6^@` met de positieve `x` -as.
De grafiek van `h` maakt een hoek van `arctan(text(-)0,5)~~text(-)11,3^@` met de positieve `x` -as.
De hoek tussen beide lijnen is daarom `60,3^@` .
Je kunt ook werken met het inproduct van beide richtingsvectoren.
In een cartesisch assenstelsel is de schaal van beide assen hetzelfde. En alleen daarin kun je richtingen en hoeken correct weergeven.
De helling is nu negatief dus hiervoor geldt:
`a = p = (4-sqrt(24))/2 = 2-sqrt(6)`
.
Invullen van
`P(2, 1)`
geeft:
`b = 1-2(2-sqrt(6)) = text(-)3+2sqrt(6)`
.
De raaklijn heeft dus de vergelijking:
`y = (2-sqrt(6))x-3+2sqrt(6)`
.
Nee. Het punt `Q` ligt boven de kromme, dus iedere (niet-verticale) lijn door `Q` snijdt de grafiek in twee punten. De verticale lijn `x = 1` kan geen raaklijn zijn, omdat de helling van de grafiek daar `f'(1) = 1` is.
De raaklijnen zijn van de vorm
`y=ax`
, omdat ze door
`(0, 0)`
gaan.
Noem het raakpunt
`(p, f(p))`
.
Er geldt:
`a = f'(p)`
dus
`a = text(-)2(p-4)`
.
Dit geeft
`f'(p) = a = (f(p)-0)/(p-0) = (text(-)(p-4)^2+7)/p`
en dus:
|
`text(-)2(p-4)` |
`=` |
`(text(-)(p-4)^2+7)/p` |
|
|
`text(-)2p+8` |
`=` |
`(text(-)p^2+8p-9)/p` |
|
|
`text(-)2p^2+8p` |
`=` |
`text(-)p^2+8p-9` |
|
|
`p^2` |
`=` |
`9` |
|
|
`p` |
`=` |
`text(-)3 vv p=3` |
Met
`a = text(-)2(p-4)`
geeft dit
`a = 2 vv a = 14`
.
De twee raaklijnen zijn:
`y = 14x`
en
`y = 2x`
.
`1/2 x^2 - 1 1/2 = 1/x` geeft `x^3 - 3x = 2` en `x=text(-)1 vv x=2` .
Dit geeft `(text(-)1, text(-)1)` en `(2 , text(-)1)` .
In `(2 , text(-)1)` is `f'(2) = 2` en `g'(2) = text(-)0,25` .
De raaklijn aan de grafiek van `f` heeft een richtingshoek van `arctan(2)~~63,4^@` .
De raaklijn aan de grafiek van `g` heeft een richtingshoek van `arctan(text(-)0,25)~~text(-)14,0^@` .
Beide grafieken maken daarom een (scherpe) hoek van `~~77,5^@` .
`f(x) = g(x)` geeft `text(e)^x = text(e)^(1/x)` , ofwel de grafieken snijden elkaar als `x = text(-)1 vv x = 1` .
`f'(x) = text(e)^x` en `g'(x) = text(-)2/(x^2) text(e)^(1/x)` .
De
`x`
-coördinaten van de snijpunten invoeren geeft:
`f'(text(-)1) = 1/(text(e))`
en
`g'(text(-)1) = text(-)2/(text(e))`
.
`f'(1) = text(e)`
en
`g'(1) = text(-)2text(e)`
.
Bij beide snijpunten gelden zowel
`f'(x) = g'(x)`
als
`f'(x) = text(-)1/(g'(x))`
niet, dus de grafieken raken elkaar niet, en snijden elkaar ook niet loodrecht.
Werk op dezelfde wijze als in het voorbeeld. Je vindt `v: y = text(-)1,91x + 3,82` en `w: y = 0,07x - 0,14` .
De waarden van `b` kunnen door afronding iets verschillen van die in het voorbeeld.
`f'(p) = 1/((p+4)^2) = (f(p) - 4)/(p - 0) = text(-)(2p+9)/(p(p+4))` geeft `p = text(-)3 vv p = text(-)6` .
Dan is `a = f'(text(-)3) = 1` of `a = f'(text(-)6) = 1/4` .
De raaklijnen worden `y = x + 4` en `y = 1/4 x + 4` .
`f(x) = g(x)`
geeft het snijpunt op
`x = 1`
.
Er geldt:
`f'(x) = text(-)2/(x^3)`
dus
`f'(1) = text(-)2`
.
En:
`g'(x) = 1/(2sqrt(x))`
dus
`g'(1) = 1/2`
.
Je ziet dat
`f'(x)*g'(x) = text(-)1`
dus in het snijpunt staan
`f`
en
`g`
loodrecht op elkaar.
De raaklijn
`l: y = ax+b`
gaat door
`P(0, text(-)1)`
en raakt de grafiek van
`f`
in
`(p,f(p))`
.
Er geldt:
`a = f'(p) = (p^2-1)/(p^2) = (f(p)-text(-)1)/(p-0) = (p^2-p+1)/(p^2)`
.
Dit geeft
`p = 2`
en
`a = 3/4`
.
Omdat de lijn door
`P(0, text(-)1)`
gaat is
`b = text(-)1`
.
De raaklijn is dus:
`l: y = 3/4 x - 1`
.
`f(x) = 0`
geeft
`x = 1`
en
`x = 2`
.
Omdat
`f'(x) = (x^2-2)/(x^2)`
zijn de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen
`f'(1) = text(-)1`
en
`f'(2) = 1/2`
.
Hiervoor geldt niet
`f'(1)*f'(2) = text(-)1`
, dus de raaklijnen staan niet loodrecht op elkaar.
`f(x) = ((x-2)(x-1))/x = x - 3 + 2/x` en `lim_(x → text(-)oo) (x - 3 + 2/x - (x-3)) = 0` . Dus de scheve asymptoot is `y = x - 3` .
De scheve asymptoot heeft helling `1` , dus een raaklijn die daar loodrecht op staat heeft helling `text(-)1` . De raaklijn zou dus van de vorm `y = text(-)x+b` zijn.
Stel dat de lijn de grafiek van `f` raakt in `(p, f(p))` , dan moet er gelden: `f'(p) = text(-)1` .
|
`(p^2-2)/(p^2)` |
`=` |
`text(-)1` |
|
|
`p^2-2` |
`=` |
`text(-)p^2` |
|
|
`p` |
`=` |
`text(-)1 vv p = 1` |
`f(text(-)1) = text(-)6` en `f(1) = 0` .
Verder moet gelden dat `f(x) = text(-)x+b` .
Dit geeft `b = text(-)6-1 = text(-)7` of `b = 0+1 = 1` .
De raaklijnen loodrecht op de scheve asymptoot zijn dus `y = text(-)x-7` en `y = text(-)x+1` .
Vanwege de symmetrie van de situatie bekijk je alleen het snijpunt `(1/4 pi, 1/2 sqrt(2))` .
`f'(1/4 pi) = cos(1/4 pi) = 1/2 sqrt(2)` met hellingshoek `arctan(1/2 sqrt(2)) ~~ 35,3^@` .
`g'(1/4 pi) = text(-)sin(1/4 pi) = text(-)1/2 sqrt(2)` met hellingshoek `~~ text(-)35,3^@` .
Beide grafieken snijden elkaar steeds onder een hoek van ongeveer `70,6^@` .
`f'(x) = text(-)x + 1 1/2 sqrt(x)`
De lijn
`y = ax+b`
met
`a gt 0`
gaat door
`Q(2, text(-)2)`
en snijdt de grafiek van
`f`
loodrecht in
`P(p, f(p))`
.
Er geldt:
`f'(p) = text(-)1/a`
en
`a = (f(p)-text(-)2)/(p-2)`
.
Dit geeft: `1/(p - 1 1/2 sqrt(p)) = (text(-)1/2p^2 + p sqrt(p) + 2)/(p - 2)` .
Oplossen met de GR geeft
`p~~0,70`
,
`p = 4`
en
`p~~2,80`
. De eerste waarde van
`p`
leidt tot een negatieve waarde van
`a`
, dus die valt af. De andere twee waarden van
`p`
geven respectievelijk
`a=1`
en
`a~~3,48`
.
Omdat de lijn door
`Q(2, text(-)2)`
gaat geldt:
`text(-)2 = 1*2+b`
dus
`b = text(-)4`
of
`text(-)2 ~~ 3,48*2+b`
dus
`b ~~ text(-)8,96`
.
De raaklijnen zijn:
`l: y = x - 4`
en
`m: y ~~ 3,48x - 8,96`
.
De raaklijn is van de vorm:
`y = ax+b`
.
Hierbij is:
`a = f'(p) = 1/p`
.
Invullen van
`(p, ln(p))`
geeft:
`b = ln(p)-1`
.
`k`
heeft de vergelijking:
`y = 1/p x + ln(p) - 1`
.
De helling van `k` is gelijk aan `1/p` en ook aan `g'(q) = text(e)^q` . Tevens is de helling gelijk aan de differentiequotiënt tussen `P` en `Q` : `(Delta y)/(Delta x) = (ln(p)-text(e)^q)/(p-q)` .
Er geldt: `1/p = text(e)^q` .
|
`1/p` |
`=` |
`(ln(p)-text(e)^q)/(p-q)` |
|
|
`1/p` |
`=` |
`(ln(p)-1/p)/(p-q)` |
|
|
`p-q` |
`=` |
`(ln(p)-1/p)*p` |
|
|
`q` |
`=` |
`p-pln(p)+1` |
Deze uitdrukking kun je weer invullen in `1/p = text(e)^q` :
|
`1/p` |
`=` |
`text(e)^q` |
|
|
`1/p` |
`=` |
`text(e)^(p+1-pln(p))` |
|
|
`1/p` |
`=` |
`text(e)^(p+1)(text(e)^ln(p))^(text(-)p)` |
|
|
`1/p` |
`=` |
`text(e)^(p+1)p^(text(-)p)` |
|
|
`1` |
`=` |
`p^(1-p)text(e)^(p+1)` |
De vergelijking uit c oplossen met de GR geeft `p ~~ 4,68` (de andere oplossingen kunnen niet omdat die impliceren dat `p lt 0` of `q gt 0` ). De richtingscoëfficiënt van `k` is dus `1/p ~~ 0,21` .
(bron: examen wiskunde B1,2 in 2009, eerste tijdvak)
`l: y = text(-)1/(3text(e)^4) x`
Nulpunten `(0, 0)` en `(16, 0)` .
Je vindt randmax `f(0) = 0` en min. `f(9) = 6,75` .
`0^@` en ongeveer `63,4^@` .
`(4, text(-)4)`