Functieonderzoek > RaakproblemenUitleg
Hier zie je de grafieken van de functies: `f(x) = (2x)/(x^2+1)` , `g(x) = x^2 + 2x` en `h(x) = text(-)1/2 x` .
De grafieken van
`f`
en
`g`
lijken elkaar te raken, want beide hebben punten gemeenschappelijk waarin ze dezelfde
richting lijken te hebben.
Als dit het geval is dan moet in dit punt gelden:
`f(x) = g(x)`
en
`f'(x) = g'(x)`
.
Uit
`f(x) = g(x)`
volgt
`x = 0 vv x = text(-)1`
en dus zijn
`(0, 0)`
en
`(text(-)1, text(-)1)`
de gemeenschappelijke punten van de grafieken van
`f`
en
`g`
.
Je hoeft nu alleen nog maar de controleren of in deze punten ook `f'(x) = g'(x)` .
De grafieken van `f` en `h` lijken elkaar loodrecht te snijden. Dat kun je natuurlijk alleen echt zien in een cartesisch assenstelsel. Als dit het geval is dan moeten hun raaklijnen in hun gemeenschappelijke punt loodrecht zijn.
In dit punt moet gelden:
`f(x) = h(x)`
en
`f'(x) * h'(x) = text(-)1`
.
`f(x) = h(x)`
geeft
`x = 0`
, dus de grafieken van
`f`
en
`h`
snijden elkaar in
`(0, 0)`
.
Nu nog controleren of
`f'(x)*h'(x) = text(-)1`
in dit punt.
Bekijk
Laat zelf door berekening zien dat de grafieken van `f` en `g` elkaar raken.
Toon aan dat de grafieken van `f` en `h` elkaar in `(0, 0)` loodrecht snijden.
Waarom snijden de grafieken van `g` en `h` elkaar in `(0, 0)` ook loodrecht?
Bekijk de functies
`g`
en
`h`
uit
Beide functies hebben behalve
`(0, 0)`
nog een snijpunt.
Bereken de exacte coördinaten daarvan.
In de figuur in de uitleg zie je dat beide functies elkaar in dit tweede snijpunt niet loodrecht snijden. De raaklijn aan de grafiek van `g` maakt een andere hoek met de grafiek van `h` .
Bereken de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van `g` en bereken daarmee de hoek die deze raaklijn met de grafiek van `h` maakt.
De hoek die je bij b hebt berekend is de hoek tussen beide grafieken van `g` en `h` in het punt `(text(-)2,5; 1,25)` .
Waarom kun je die hoek alleen goed zien in een cartesisch assenstelsel?