Bekijk de grafiek van functie `f(x) = 1/2 x^2 + 2` en het punt `P(2, 1)` .

Met de applet kun je nagaan dat er twee raaklijnen aan de grafiek `f` door `P` gaan. Maar hoe stel je de vergelijkingen van deze raaklijnen op?

Een raaklijn `k` heeft de vorm `k: y = ax+b` en heeft raakpunt `M(p, f(p))` . Dan geldt:

• richtingscoëfficiënt `a = f'(p)`

• lijn `k` gaat door `P(2, 1)` , dus `a = (Delta y)/(Delta x) = (f(p)-1)/(p-2)`

Dus `f'(p) = (f(p)-1)/(p-2)` .

Omdat `f'(x) = x` wordt dit: `p = (1/2 p^2 + 2 - 1)/(p - 2)` , zodat `p^2 - 2p = 1/2p^2 + 1` en `1/2p^2-2p-1 = 0` .

Eén van beide raaklijnen heeft een positieve helling. Met de abc-formule vind je: `p = (4+sqrt(24))/2 = 2+sqrt(6)` .
Omdat `a = f'(p) = p` is dit ook de richtingscoëfficiënt die raaklijn.
De vergelijking wordt daarom `y = (2+sqrt(6))x+b` .

Invullen van `P(2, 1)` geeft: `b = text(-)3 - 2sqrt(6)` .

De vergelijking van deze raaklijn wordt: `y = (2+sqrt(6))x - 3 - 2sqrt(6)` .