Vul het punt `B(2, 3)` in het functievoorschrift in en bereken `p` .
`3 = p*2^4 - 2*2^2` en dus `16p = 11` en dit levert `p = 11/16` .

De toppen bereken je met `f'(x) = 0` dus `4px^3 - 4x = 0` levert `x(4px^2 - 4) = 0` en dus vind je dan `x = 0 vv x^2 = 1/p` .

De bijbehorende `y` -waarden zijn `y = 0 vv y = text(-)1/p` .
En `y = text(-)1/p = text(-)2` geeft `p = 0,5` .

Er geldt `x^2 = 1/p` en dus ook `x = +-sqrt(1/p)` .
Invullen in `f(x) = px^4 - 2x^2` levert `f(x) = p*(1/p)^2 - 2*1/p = text(-)1/p` .

Alle toppen zijn `(+-sqrt(1/p), text(-)p)` .

Ga na, dat deze punten allemaal op `y = text(-)x^2` liggen.

`A(text(-)2, text(-)3)` invullen geeft  `b = 6 1/2` .

`g'_b (x) = 6x + b = 0` geeft `b = text(-)6x` en dus `y = 3x^2 - 6x*x - 2 = text(-)3x^2 - 2` als kromme waarop de toppen liggen.

`A_p (p, p^3)` en `B_p (p, p^2)` geeft voor de lengte van `A_p B_p` de waarde `l(p) = p^2 - p^3` .
Bedenk daarbij dat op `[0, 1]` geldt dat `x^2 ge x^3` .

`l'(p) = 2p - 3p^2 = 0` geeft `p = 0 vv p = 2/3` .
Het minimum zit bij `p = 0` , het maximum bij `p = 2/3` . (Maak bijvoorbeeld een tekenschema van `l'(p)` .)

`2 * int_0^4 (1,6x - (0,1x^5 - 1,5x^3)) text(d)x = 2 * [0,8x^2 - 1/60 x^6 + 3/8 x^4]{:(4),(0):} = 1216/15` .

`f'_a (x) = 0,5x^4 - 4,5x^2 = 0` geeft `x^2(0,5x^2 - 4,5) = 0` en dus `x = 0 vv x^2 = 9` . Dit levert `x = 0 vv x = +-3` op.

Invullen in `f` levert de toppen `(3; 16,2+a)` en `(text(-)3; text(-)16,2+a)` .

Deze punten liggen beide op de grafiek van `g` als `1,6*3 = 16,2 + a` , dus als `a = text(-)11,4` .

`f'_a(x) = 1,6` geeft `0,5x^4-4,5x^2 = 1,6` zodat `x^4 - 9x^2 - 3,2 = 0` en `x = +-3,06` . Dus vind je de punten `(3,06; 22,15)` en `(text(-)3,06; text(-)10,15)` .

Invullen en de waarden van `a` uitrekenen levert `a~~38,3` en `a~~text(-)26,3` .

`f'_p(x) = 2px text(e)^(px^2) = 0` levert `x = 0` .
En `f'_p` wisselt voor `x = 0` van teken.

`f''_p(x) = (2p + 4p^2x^2)text(e)^(px^2) = 0` geeft `x^2 = text(-)2/(4p)` .

Er zijn twee oplossingen als `p lt 0` .

`f'_p(1) = 2ptext(e)^p` . door `(1, text(e)^p)` .

Dan volgt `y = 2ptext(e)^p x + (1 - 2p)text(e)^p` .

`1/(text(e)) = 2ptext(e)^p + (1 - 2p)text(e)^p` geeft `1/(text(e)) = text(e)^p` en dus `p = text(-)1` .

Maak een schets en je ziet dat de lengte van de rechthoek `x` is en de breedte `f(x) = sin(x)` .

`A'(x) = sin(x) + x cos(x) = 0` oplossen met de GR geeft `x = 0 vv x ~~ 2,03` .

Dit invullen in `A(x)` geeft de maximale oppervlakte van `~~ 1,82` bij `x ~~ 2,03` .

`f_p(x) = p*sin^3(x)` geeft `f'_p(x) = 3p*sin^2(x)cos(x)` . Kettingregel gebruiken.

`(Delta y)/(Delta x) = (1/4 p sqrt(2) - 1)/(1/4 pi - 0) = 3/4 p sqrt(2)` geeft `1/4 p sqrt(2) - 1 = 3/16 pi*p sqrt(2)` en dus `p= 1/(1/4 sqrt(2) - 3/16 pi sqrt(2)) ~~ text(-)2,09` .

`f'_1(x) = 3 sin^2(x)cos(x) = 0` geeft `x = 0 + k*1/2 pi` .
De toppen zijn `(1/2 pi, 1)` en `(1 1/2 pi, text(-)1)` .

`text(B)_f =[text(-)1, 1]` .

`f''_p(x) = 6p*sin(x)cos^2(x) - 3p*sin^3(x) = 0` geeft `3p sin(x) = 0 vv 2cos^2(x) - sin^2(x) = 0` .
Hieruit volgt `sin(x) = 0 vv 2 - 3sin^2(x) = 0` , ofwel `sin(x) = 0 vv sin(x) = +- sqrt(2/3)` .
Hieruit vind je `x = 0 vv x = pi vv x = 2pi vv x ~~ 0,955 vv x ~~ 2,186 vv x ~~ 4,097 vv x ~~ 5,328` .

Dat zijn `7` waarden, maar twee ervan zitten op de randen van de periode van `2pi` .

Neem als venster bijvoorbeeld `[text(-)1, 4]xx[text(-)1, 5]` .

`f'(x) = text(-)1 + 1/(sqrt(x)) = 0` als `x = 1` .
`f` heeft een maximum `f(1) = 4` .

Verder is er een randminimum `f(0) = 3` .

`f(x) = 0` geeft `x = 9` .

  `f'(9) = text(-)2/3` . Dus `~~33,7^@` .

Oplossen `f(x) = g(x)` en `f'(x) = g'(x)` geeft `x = 1/9` en `p = 3 1/3` .

 Oplossen `f(x) = g_p(x)` en `f'(x) * g'_p(x) = text(-)1` geeft `x = 4` en `p = text(-)5` .

`f_1(x) = 0` geeft `x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2) = 0` en `x = 1 vv x = text(-)2` .

Nulpunten `(1, 0)` en `(text(-)2, 0)` .

`f'_1(x) = (x^2 + 6x + 5)/((x+3)^2) = 0` geeft `x = text(-)5 vv x = text(-)1` .

Extremen: max. `f(text(-)5) = text(-)9` en `f(text(-)1) = text(-)1` .

`f'_p(x) = (x^2 + 6x + 3p+2)/((x+3)^2) = 0` oplossen.

Geen oplossingen als `D = 36 - 4(3p+2) lt 0` geeft `p gt 2 1/3` .

`lim_(x rarr oo) ((x^2+px-2)/(x+3) - (x+2)) = 0` geeft `lim_(x rarr oo) ((p-5)x-8)/(x+3) = 0` .

Dit betekent `p-5 = 0` en dus `p = 5` .

`f'(x) = 3*sin^2(x)cos(x)-cos(x) = 0` geeft `cos(x) = 0 vv sin(x) = +-sqrt(1/3)` .
Dit geeft `x = 1/2 pi vv x = 1 1/2 pi vv x ~~ 0,809 vv x ~~ 2,526 vv x ~~ 3,757 vv x ~~ 5,668` .
Invullen van deze waarden in `f` geeft de extremen.
Je vindt als bereik `[text(-)0,38; 0,38]` .

`3*sin^2(x)cos(x) + pcos(x) = 0 ^^ sin^3(x) + p*sin(x) = 0,25` geeft `p = text(-)3/4` .

`(2+4sin(x))/(3+2sin(x)) = sin(x)` geeft `2 sin^2(x) - sin(x) - 2 = 0` , zodat `sin(x) = (1 +- sqrt(17))/4` en `x ~~ 4,038 + k*2pi vv x ~~ 5,387 + k*2pi` .

Grafiek op GR: `[4,04; 5,38]+k*2pi` .

`f'(x) = (8cos(x))/((3+2sin(x))^2) = 0` oplossen geeft extremen bij `x = +-0,5pi +k2pi` .
Je vindt dan `text(-)2` als minimum en `1,2` als maximum.

Nu moet `(8cos(x))/((3+2sin(x))^2) = pcos(x) ^^ (2+4sin(x))/(3+2sin(x)) = 1 - p + p sin(x)` .

`p = 8/((3+2sin(x))^2)` geeft `(2+4sin(x))/(3+2sin(x)) = 1 - 8/((3+2sin(x))^2) + (8sin(x))/((3+2sin(x))^2)` .

Dit geeft `(2+4sin(x))(3+2sin(x)) = (3+2sin(x))^2 - 8 + 8sin(x)` en `4 sin^2(x) + 4sin(x) + 1 = 0` .

Dus `sin(x) = text(-)1/2` , zodat `p = 2` .

Er zijn drie snijpunten: `(0, 0)` , `(text(-)sqrt(3), text(-)sqrt(3))` , `(sqrt(3), sqrt(3))` .

`text(D)_f = [text(-)2, 2]` en `text(B)_f=[text(-)2, 2]` .

`p = 2` .

`2pi^2`

`~~ 11,61`

`p = 1 + sqrt(2)` .