Functieonderzoek

Functieonderzoek > Families van functies

12345Families van functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

$f'(x)=4px^3-4x=0$ geeft $x=0 vv x^2=1/p$ , dus $x=sqrt(1/p)$ . Dit houdt in dat $p>0$ .

Grafiek door $(3, 0)$ dus $81p-18=0$ en dan volgt $p=18/81$ .

Alle toppen op $x^2=1/p$ geeft $p=1/(x^2)$ .
Dit invullen in het gegeven functievoorschrift geeft $y = 1/(x^2)*x^4 - 2x^2 = text(-)x^2$ .
Daar lig alle toppen op.

Opgave 1

Vul het punt $B(2,3)$ in het functievoorschrift in en bereken $p$ .
$3=p*2^4-2*2^2$ en dus $16p=11$ en dit levert $p=11/16$ .

De toppen bereken je met $f'(x)=0$ dus $4px^3-4x=0$ levert $x(4px^2-4)=0$ en dus vind je dan $x=0 vv x^2=1/p$ .

De bijbehorende $y$ -waarden zijn $y = 0 vv y = text(-)1/p$ .
En $y = text(-)1/p = text(-)2$ geeft $p = 0,5$ .

Er geldt $x^2=1/p$ en dus ook $x = +-sqrt(1/p)$ .
Invullen in $f(x)=px^4-2x^2$ levert $f(x)=p*(1/p)^2-2*1/p=text(-)1/p$ .

Alle toppen zijn $(+-sqrt(1/p), text(-)p)$ .

Ga na, dat deze punten allemaal op $y=text(-)x^2$ liggen.

Opgave 2

$A(text(-)2, text(-)3)$ invullen geeft $b=6 1/2$ .

$g'_b (x) = 6x + b = 0$ geeft $b=text(-)6x$ en dus $y=3x^2-6x*x-2 = text(-)3x^2-2$ als kromme waarop de toppen liggen.

Opgave 3

$A_p (p, p^3)$ en $B_p (p, p^2)$ geeft voor de lengte van $A_p B_p$ de waarde $l(p) = p^2 - p^3$ .
Bedenk daarbij dat op $[0, 1]$ geldt dat $x^2 ge x^3$ .

$l'(p) = 2p - 3p^2 = 0$ geeft $p = 0 vv p = 2/3$ .
Het minimum zit bij $p = 0$ , het maximum bij $p = 2/3$ . (Maak bijvoorbeeld een tekenschema van $l'(p)$ .)

Opgave 4

$2 * int_0^4 1,6x - (0,1x^5 - 1,5x^3) text(d)x = 2 * [0,8x^2 - 1/60 x^6 + 3/8 x^4]{:(4),(0):} = 1216/15$ .

$f'_a (x) = 0,5x^4-4,5x^2=0$ geeft $x^2(0,5x^2-4,5)=0$ en dus $x=0 vv x^2=9$ . Dit levert $x=0 vv x=+-3$ op.

Invullen in $f$ levert de toppen $(3; 16,2+a)$ en $(text(-)3; text(-)16,2+a)$ .

Deze punten liggen beide op de grafiek van $g$ als $1,6*3 = 16,2 + a$ , dus als $a = text(-)11,4$ .

$f'_a(x)=1,6$ geeft $0,5x^4-4,5x^2 = 1,6$ zodat $x^4 - 9x^2 - 3,2 = 0$ en $x=+-3,06$ . Dus vind je de punten $(3,06; 22,15)$ en $(text(-)3,06; text(-)10,15)$ .

Invullen en de waarden van $a$ uitrekenen levert $a~~38,3$ en $a~~text(-)26,3$ .

Opgave 5

$f'_p(x)=2px text(e)^(px^2)=0$ levert $x=0$ .

$f''_p(x) = (2p - 4p^2x^2)text(e)^(px^2)=0$ geeft $x^2 = 2/(4p)$ .

Er zijn twee oplossingen als $p gt 0$ .

$f'_p(1)=2ptext(e)^p$ . door $(1, text(e)^p)$ .

Dan volgt $y=2ptext(e)^px-text(e)^p$ .

$1/(text(e))=2ptext(e)^p-text(e)^p$ geeft $p~~text(-)0,87 vv p~~0,79$ .

Opgave 6

Maak een schets en je ziet dat de lengte van de rechthoek $x$ is en de breedte $f(x) = sin(x)$ .

$A'(x)=sin(x)+xcos(x)=0$ oplossen met de GR geeft $x=0 vv x ~~ 2,03 vv x~~4,91$ .

Dit invullen in $A(x)$ geeft de maximale oppervlakte van $~~ 1,82$ bij $x ~~ 2,03$ .

Opgave 7

Oppervlakteformule is $A(x) = x*(2-ln(x))$ .

Nu is $A'(x) = 1 - ln(x) = 0$ als $x = text(e)$ . Je vindt dan een maximum $f(text(e)) = 1$ .

Opgave 8

$f_p(x)=p*sin^3(x)$ geeft $f'_p(x)=3p*sin^2(x)cos(x)$ . Kettingregel gebruiken.

$(Delta y)/(Delta x) = (1/4 psqrt(2) - 1)/(1/4 pi - 0) = 3/4 psqrt(2)$ geeft $1/4 psqrt(2) - 1 = 3/16 pi*psqrt(2)$ en dus $p= 1/(1/4 sqrt(2) - 3/16 pi sqrt(2)) ~~ text(-)2,09$ .

$f'_1(x) = 3 sin^2(x)cos(x) = 0$ geeft $x = 0+k*1/2 pi$ .
De toppen zijn $(1/2 pi + k*2pi, 3)$ en $(1 1/2 pi + k*2pi, text(-)3)$ .

$text(B)_f =[text(-)3, 3]$ .

$f''_p(x)=6p*sin^2(x)cos^3(x)-3p*sin^2(x)cos(x))=0$ geeft vijf mogelijke waarden van $x$ .

Opgave 9

Neem als venster bijvoorbeeld $[text(-)1, 4]xx[text(-)1, 5]$ .

$f'(x) = text(-)1 + 1/(sqrt(x)) = 0$ als $x = 1$ .
$f$ heeft een maximum $f(1) = 4$ .

Verder is er een randminimum $f(0) = 3$ .

$f(x) = 0$ geeft $x = 9$ .

$f'(9)=text(-)2/3$ . Dus $~~33,7^@$ .

Oplossen $f(x)=g(x)$ en $f'(x)=g'(x)$ geeft $x=1/9$ en $p = 3 1/3$ .

Oplossen $f(x)=g(x)$ en $f'(x) * g'(x) =text(-)1$ geeft $x=4$ en $p=text(-)5$ .

Opgave 10

$f_1(x) = 0$ geeft $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2) = 0$ en $x=1 vv x=text(-)2$ .

Nulpunten $(1, 0)$ en $(text(-)2, 0)$ .

$f'_1(x) = (x^2 + 6x + 5)/((x+3)^2) = 0$ geeft $x=text(-)5 vv x=text(-)1$ .

Extremen: max. $f(text(-)5)=text(-)9$ en $f(text(-)1)=text(-)1$ .

$f'_1(x) = (x^2 + 6x + 3p+2)/((x+3)^2) = 0$ oplossen.

Geen oplossingen als $D=36-4(3p+2) lt 0$ geeft $p gt 2 1/3$ .

$lim_(x rarr oo) ((x^2+px-2)/(x+3) - (x+2)) = 0$ geeft $lim_(x rarr oo) ((p-5)x-8)/(x+3) = 0$ .

Dit betekent $p-5=0$ en dus $p=5$ .

Opgave 11

$AB$ is op het gegeven interval het langst als je tussen beide snijpunten blijft.

De lengte van $AB$ is $l(p) = (8-2p^2)-2^p$ (tussen beide snijpunten).

$l'(p) = text(-)4p - 2^p * ln(2) = 0$ als $2^p*ln(2) = text(-)4p$ .

Oplossing met de GR: $p~~text(-)0,156$ .

Maximale lengte van $|AB|~~2,82$ .

Opgave 12

$f'(x)=3*sin^2(x)cos(x)-cos(x)=0$ geeft $cos(x)=0 vv sin(x)=+-sqrt(1/3)$ .
Dit geeft $x=1/2 pi vv x= 1 1/2 pi vv x ~~ 0,809 vv x ~~ 2,526 vv x ~~ 3,757 vv x ~~ 5,668$ .
Invullen van deze waarden in $f$ geeft de extremen.
Je vindt als bereik $[text(-)0,38; 0,38]$ .

$3*sin^2(x)cos(x)-cos(x)=0$ en $sin^3(x)+p*sin(x)=0,25$ geeft $p=3/4$ .

Opgave 13

$(2+4sin(x))/(3+2sin(x)) = sin(x)$ geeft $2 sin^2(x) - sin(x) - 2 = 0$ , zodat $sin(x) = (1 +- sqrt(17))/4$ en $x ~~ 4,038 + k*2pi vv x ~~ 5,387 + k*2pi$ .

Grafiek op GR: $[4,04; 5,38]+k*2pi$ .

$f'(x)=(8cos(x))/((3+2sin(x))^2)=0$ oplossen geeft extremen bij $x=+-0,5pi +k2pi$ .
Je vindt dan $text(-)2$ als minimum en $1,2$ als maximum.

Nu moet $(8cos(x))/((3+2sin(x))^2)=pcos(x) ^^ (2+4sin(x))/(3+2sin(x)) = 1 - p + psin(x)$ .

$p = 8/((3+2sin(x))^2)$ geeft $(2+4sin(x))/(3+2sin(x)) = 1 - 8/((3+2sin(x))^2) + (8sin(x))/((3+2sin(x))^2)$ .

Dit geeft $(2+4sin(x))(3+2sin(x)) = (3+2sin(x))^2 - 8 + 8sin(x)$ en $4 sin^2(x) + 4sin(x) + 1 =0$ .

Dus $sin(x) = text(-)1/2$ , zodat $p=2$ .

Opgave 14

$int_0^p text(e)^(text(-)px) text(d)x = [text(-) 1/p text(e)^(text(-)px)]{:(p),(0):} = text(-) 1/p text(e)^(text(-)p^2) + 1/p = 0,5$ geeft met de GR $p ~~ 1,96 vv p ~~ 0,59$ .

Opgave 15Twee gelijke omwentelingslichamen

Twee gelijke omwentelingslichamen

Er geldt: $q=1/2 p^2$ en $int_(0)^(p) pi(1/2 x)^2 text(d)x = int_(0)^(q) pi(sqrt(2y))^2 text(d)y$ .

Dit levert op: $q=1/2 p^2 ^^ 1/12 pi p^3 = pi q^2$ .

En daaruit vind je $p=1/3$ en $q = 1/18$ .

Opgave 16

Er zijn drie snijpunten: $(0, 0) , (text(-)sqrt(3), text(-)sqrt(3)) , (sqrt(3), sqrt(3))$ .

$text(D)_f = [text(-)2, 2]$ en $text(B)_f=[text(-)2, 2]$ .

$p=2$ .

Opgave 17

$2pi^2$

$~~ 11,61$

$p = 1 + sqrt(2)$ .

verder | terug