Functieonderzoek > Families van functies
12345Families van functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`f'(x) = 4px^3 - 4x = 0` geeft `x = 0 vv x^2 = 1/p` . Voor elke `p` is er minstens één oplossing, namelijk `x=0` . En daar wisselt `f'(x)` ook van teken.

b

Grafiek door `(3, 0)` dus `81p-18 = 0` en dan volgt `p = 18/81` .

c

Alle toppen op `x^2 = 1/p` geeft `p = 1/(x^2)` .
Dit invullen in het gegeven functievoorschrift geeft `y = 1/(x^2)*x^4 - 2x^2 = text(-)x^2` .
Daar liggen alle toppen op.

Opgave 1
a

Vul het punt `B(2, 3)` in het functievoorschrift in en bereken `p` .
`3 = p*2^4 - 2*2^2` en dus `16p = 11` en dit levert `p = 11/16` .

b

De toppen bereken je met `f'(x) = 0` dus `4px^3 - 4x = 0` levert `x(4px^2 - 4) = 0` en dus vind je dan `x = 0 vv x^2 = 1/p` .

De bijbehorende `y` -waarden zijn `y = 0 vv y = text(-)1/p` .
En `y = text(-)1/p = text(-)2` geeft `p = 0,5` .

c

Er geldt `x^2 = 1/p` en dus ook `x = +-sqrt(1/p)` .
Invullen in `f(x) = px^4 - 2x^2` levert `f(x) = p*(1/p)^2 - 2*1/p = text(-)1/p` .

Alle toppen zijn `(+-sqrt(1/p), text(-)p)` .

Ga na, dat deze punten allemaal op `y = text(-)x^2` liggen.

Opgave 2
a

`A(text(-)2, text(-)3)` invullen geeft  `b = 6 1/2` .

c

`g'_b (x) = 6x + b = 0` geeft `b = text(-)6x` en dus `y = 3x^2 - 6x*x - 2 = text(-)3x^2 - 2` als kromme waarop de toppen liggen.

Opgave 3
a

`A_p (p, p^3)` en `B_p (p, p^2)` geeft voor de lengte van `A_p B_p` de waarde `l(p) = p^2 - p^3` .
Bedenk daarbij dat op `[0, 1]` geldt dat `x^2 ge x^3` .

b

`l'(p) = 2p - 3p^2 = 0` geeft `p = 0 vv p = 2/3` .
Het minimum zit bij `p = 0` , het maximum bij `p = 2/3` . (Maak bijvoorbeeld een tekenschema van `l'(p)` .)

Opgave 4
a

`2 * int_0^4 (1,6x - (0,1x^5 - 1,5x^3)) text(d)x = 2 * [0,8x^2 - 1/60 x^6 + 3/8 x^4]{:(4),(0):} = 1216/15` .

b

`f'_a (x) = 0,5x^4 - 4,5x^2 = 0` geeft `x^2(0,5x^2 - 4,5) = 0` en dus `x = 0 vv x^2 = 9` . Dit levert `x = 0 vv x = +-3` op.

Invullen in `f` levert de toppen `(3; 16,2+a)` en `(text(-)3; text(-)16,2+a)` .

Deze punten liggen beide op de grafiek van `g` als `1,6*3 = 16,2 + a` , dus als `a = text(-)11,4` .

c

`f'_a(x) = 1,6` geeft `0,5x^4-4,5x^2 = 1,6` zodat `x^4 - 9x^2 - 3,2 = 0` en `x = +-3,06` . Dus vind je de punten `(3,06; 22,15)` en `(text(-)3,06; text(-)10,15)` .

Invullen en de waarden van `a` uitrekenen levert `a~~38,3` en `a~~text(-)26,3` .

Opgave 5
a

`f'_p(x) = 2px text(e)^(px^2) = 0` levert `x = 0` .
En `f'_p` wisselt voor `x = 0` van teken.

b

`f''_p(x) = (2p + 4p^2x^2)text(e)^(px^2) = 0` geeft `x^2 = text(-)2/(4p)` .

Er zijn twee oplossingen als `p lt 0` .

c

`f'_p(1) = 2ptext(e)^p` . door `(1, text(e)^p)` .

Dan volgt `y = 2ptext(e)^p x + (1 - 2p)text(e)^p` .

d

`1/(text(e)) = 2ptext(e)^p + (1 - 2p)text(e)^p` geeft `1/(text(e)) = text(e)^p` en dus `p = text(-)1` .

Opgave 6
a

Maak een schets en je ziet dat de lengte van de rechthoek `x` is en de breedte `f(x) = sin(x)` .

b

`A'(x) = sin(x) + x cos(x) = 0` oplossen met de GR geeft `x = 0 vv x ~~ 2,03` .

Dit invullen in `A(x)` geeft de maximale oppervlakte van `~~ 1,82` bij `x ~~ 2,03` .

Opgave 7

Oppervlakteformule is `A(x) = x*(2-ln(x))` .

Nu is `A'(x) = 1 - ln(x) = 0` als `x = text(e)` . Je vindt dan een maximum `A(text(e)) = 1` .

Opgave 8
a

`f_p(x) = p*sin^3(x)` geeft `f'_p(x) = 3p*sin^2(x)cos(x)` . Kettingregel gebruiken.

b

`(Delta y)/(Delta x) = (1/4 p sqrt(2) - 1)/(1/4 pi - 0) = 3/4 p sqrt(2)` geeft `1/4 p sqrt(2) - 1 = 3/16 pi*p sqrt(2)` en dus `p= 1/(1/4 sqrt(2) - 3/16 pi sqrt(2)) ~~ text(-)2,09` .

c

`f'_1(x) = 3 sin^2(x)cos(x) = 0` geeft `x = 0 + k*1/2 pi` .
De toppen zijn `(1/2 pi, 1)` en `(1 1/2 pi, text(-)1)` .

`text(B)_f =[text(-)1, 1]` .

d

`f''_p(x) = 6p*sin(x)cos^2(x) - 3p*sin^3(x) = 0` geeft `3p sin(x) = 0 vv 2cos^2(x) - sin^2(x) = 0` .
Hieruit volgt `sin(x) = 0 vv 2 - 3sin^2(x) = 0` , ofwel `sin(x) = 0 vv sin(x) = +- sqrt(2/3)` .
Hieruit vind je `x = 0 vv x = pi vv x = 2pi vv x ~~ 0,955 vv x ~~ 2,186 vv x ~~ 4,097 vv x ~~ 5,328` .

Dat zijn `7` waarden, maar twee ervan zitten op de randen van de periode van `2pi` .

Opgave 9
a

Neem als venster bijvoorbeeld `[text(-)1, 4]xx[text(-)1, 5]` .

b

`f'(x) = text(-)1 + 1/(sqrt(x)) = 0` als `x = 1` .
`f` heeft een maximum `f(1) = 4` .

Verder is er een randminimum `f(0) = 3` .

c

`f(x) = 0` geeft `x = 9` .

  `f'(9) = text(-)2/3` . Dus `~~33,7^@` .

d

Oplossen `f(x) = g(x)` en `f'(x) = g'(x)` geeft `x = 1/9` en `p = 3 1/3` .

e

 Oplossen `f(x) = g_p(x)` en `f'(x) * g'_p(x) = text(-)1` geeft `x = 4` en `p = text(-)5` .

Opgave 10
a

`f_1(x) = 0` geeft `x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2) = 0` en `x = 1 vv x = text(-)2` .

Nulpunten `(1, 0)` en `(text(-)2, 0)` .

`f'_1(x) = (x^2 + 6x + 5)/((x+3)^2) = 0` geeft `x = text(-)5 vv x = text(-)1` .

Extremen: max. `f(text(-)5) = text(-)9` en `f(text(-)1) = text(-)1` .

b

`f'_p(x) = (x^2 + 6x + 3p+2)/((x+3)^2) = 0` oplossen.

Geen oplossingen als `D = 36 - 4(3p+2) lt 0` geeft `p gt 2 1/3` .

c

`lim_(x rarr oo) ((x^2+px-2)/(x+3) - (x+2)) = 0` geeft `lim_(x rarr oo) ((p-5)x-8)/(x+3) = 0` .

Dit betekent `p-5 = 0` en dus `p = 5` .

Opgave 11

`AB` is op het gegeven interval het langst als je tussen beide snijpunten blijft.

De lengte van `AB` is `l(p) = (8-2p^2)-2^p` (tussen beide snijpunten).

`l'(p) = text(-)4p - 2^p * ln(2) = 0` als `2^p*ln(2) = text(-)4p` .

Oplossing met de GR: `p~~text(-)0,156` .

Maximale lengte van `|AB|~~2,82` .

Opgave 12
a

`f'(x) = 3*sin^2(x)cos(x)-cos(x) = 0` geeft `cos(x) = 0 vv sin(x) = +-sqrt(1/3)` .
Dit geeft `x = 1/2 pi vv x = 1 1/2 pi vv x ~~ 0,809 vv x ~~ 2,526 vv x ~~ 3,757 vv x ~~ 5,668` .
Invullen van deze waarden in `f` geeft de extremen.
Je vindt als bereik `[text(-)0,38; 0,38]` .

b

`3*sin^2(x)cos(x) + pcos(x) = 0 ^^ sin^3(x) + p*sin(x) = 0,25` geeft `p = text(-)3/4` .

Opgave 13
a

`(2+4sin(x))/(3+2sin(x)) = sin(x)` geeft `2 sin^2(x) - sin(x) - 2 = 0` , zodat `sin(x) = (1 +- sqrt(17))/4` en `x ~~ 4,038 + k*2pi vv x ~~ 5,387 + k*2pi` .

Grafiek op GR: `[4,04; 5,38]+k*2pi` .

b

`f'(x) = (8cos(x))/((3+2sin(x))^2) = 0` oplossen geeft extremen bij `x = +-0,5pi +k2pi` .
Je vindt dan `text(-)2` als minimum en `1,2` als maximum.

c

Nu moet `(8cos(x))/((3+2sin(x))^2) = pcos(x) ^^ (2+4sin(x))/(3+2sin(x)) = 1 - p + p sin(x)` .

`p = 8/((3+2sin(x))^2)` geeft `(2+4sin(x))/(3+2sin(x)) = 1 - 8/((3+2sin(x))^2) + (8sin(x))/((3+2sin(x))^2)` .

Dit geeft `(2+4sin(x))(3+2sin(x)) = (3+2sin(x))^2 - 8 + 8sin(x)` en `4 sin^2(x) + 4sin(x) + 1 = 0` .

Dus `sin(x) = text(-)1/2` , zodat `p = 2` .

Opgave 14

`int_0^p text(e)^(text(-)px) text(d)x = [text(-) 1/p text(e)^(text(-)px)]{:(p),(0):} = text(-) 1/p text(e)^(text(-)p^2) + 1/p = 0,5` geeft met de GR `p ~~ 1,96 vv p ~~ 0,59` .

Opgave 15Twee gelijke omwentelingslichamen
Twee gelijke omwentelingslichamen

Er geldt: `q = 1/2 p^2` en `int_(0)^(p) pi(1/2 x)^2 text(d)x = int_(0)^(q) pi(sqrt(2y))^2 text(d)y` .

Dit levert op: `q = 1/2 p^2 ^^ 1/12 pi p^3 = pi q^2` .

En daaruit vind je `p = 1/3` en `q = 1/18` .

Opgave 16
a

Er zijn drie snijpunten: `(0, 0)` , `(text(-)sqrt(3), text(-)sqrt(3))` , `(sqrt(3), sqrt(3))` .

b

`text(D)_f = [text(-)2, 2]` en `text(B)_f=[text(-)2, 2]` .

c

`p = 2` .

Opgave 17
a

`2pi^2`

b

`~~ 11,61`

c

`p = 1 + sqrt(2)` .

verder | terug