Functieonderzoek

Functieonderzoek > Families van functies

Overzicht

12345Families van functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

$f'(x)=4px^3-4x=0$ geeft $x=0 vv x^2=1/p$ , dus $x=sqrt(1/p)$ . Dit houdt in dat $p>0$ .

Grafiek door $(3, 0)$ dus $81p-18=0$ en dan volgt $p=18/81$ .

Alle toppen op $x^2=1/p$ geeft $p=1/(x^2)$ en dus op $y=text(-)x^2$ . Daar ligt ook de top $(0, 0)$ op.

Opgave V2

$~~9,48$ .

Oppervlakte rechthoek: $O(x)=x*(2-x^2)$ .

$O'(x)=0$ geeft grootste oppervlakte als $x=sqrt(2/3)$ .

En dan volgt maximale oppervlakte $1 1/3 sqrt(2/3)$ .

De gevraagde omtrek is $2sqrt(2) + int_(text(-)sqrt(2))^(sqrt(2)) sqrt(1 + (text(-)2x)^2) text(d)x ~~ 7,95$ .

Opgave 1

Vul het punt $B(2,3)$ in het functievoorschrift in en bereken $p$ .
$3=p*2^4-2*2^2$ en dus $16p=11$ en dit levert $p=11/16$ .

De toppen bereken je met $f'(x)=0$ dus $4px^3-4x=0$ levert $x(4px^2-4)=0$ en dus vind je dan $x=0 vv x^2=1/p$ .

De bijbehorende $y$ -waarden zijn $y = 0 vv y = text(-)1/p$ .
En $y = text(-)1/p = text(-)2$ geeft $p = 0,5$ .

Er geldt $x^2=p$ en dus ook $p=1/x^2$ . Invullen in $f(x)=px^4-2x^2$ levert $f(x)=1/x^2*x^4-2x^2=text(-)x^2$ .

Opgave 2

$A(text(-)2, text(-)3)$ invullen geeft $b=6 1/2$ .

$g'_b (x) = 6x + b = 0$ geeft $b=text(-)6x$ en dus $y=3x^2-6x*x-2 = text(-)3x^2-2$ als kromme waarop de toppen liggen.

Opgave 3

$text(opp)(V)= int_0^1 x^2-x^3 text(d)x = [1/3 x^3 - 1/4 x^4]{:(1),(0):} = 1/3 - 1/4 = 1/12$

$text(omtrek)(V)= int_0^1 sqrt(1 + (2x)^2) text(d)x + int_0^1 sqrt(1 + (3x^2)^2) text(d)x ~~ 3,027$

Je moet eerst de inhoud van het vlakdeel ingesloten door de $x$ -as, de lijn $x = 1$ en de grafiek van $f$ bij wentelen om de $x$ -as berekenen. Van de uitkomst daarvan trek je dan de inhoud van het vlakdeel ingesloten door de $x$ -as, de lijn $x = 1$ en de grafiek van $g$ bij wentelen om de $x$ -as af.

$I= int_0^1 πx^4 - pi x^6 text(d)x = [1/5 pi x^5 - 1/7 pi x^7]{:(1),(0):} = 1/5 pi - 1/7 pi = 2/35 pi$

De hele zaak moet worden bekeken vanuit de $y$ -as. Dat betekent dat je met de inverse functies moet werken en dat de grenzen nu $f(0) = 0$ en $f(1) = 1$ zijn.

$I= int_0^1 π (x^(1/3)) ^2 - pi(x^(1/2))^2 text(d)x = [3/4 pi x^(4/3) - 2/3 pi x^(3/2)]{:(1),(0):} = 1/12 pi$

Opgave 4

$A_p (p, p^3)$ en $B_p (p, p^2)$ geeft voor de lengte van $A_p B_p$ de waarde $l(p) = p^2 - p^3$ .

$l'(p) = 2p - 3p^2 = 0$ geeft $p = 0 vv p = 2/3$ .
Het minimum zit bij $p = 0$ , het maximum bij $p = 2/3$ . (Maak bijvoorbeeld een tekenschema van $l'(p)$ .)

Opgave 5

$2 * int_0^4 1,6x - (0,1x^5 - 1,5x^3) text(d)x = 2 * [0,8x^2 - 1/60 x^6 + 3/8 x^4]{:(4),(0):} = 1216/15$ .

De waarde van $a$ zorgt ervoor dat $f_a(x)$ naar boven of beneden schuift. Het aantal snijpunten hangt daarvan af. In de applet zie je dat $text(-)16,2 < a < 16,2$ .

$f '_a (x) = 0,5x^4-4,5x^2=0$ geeft $x^2(0,5x^2-4,5)=0$ en dus $x=0 vv x^2=9$ . Dit levert $x=0 vv x=+-3$ op.

Invullen in $f$ levert de toppen $(3; 16,2+a)$ en $(text(-)3; text(-)16,2+a)$ .

Deze punten liggen beide op de grafiek van $g$ als $1,6*3 = 16,2 + a$ , dus als $a = text(-)11,4$ .

$f'_a(x)=1,6$ levert $x=+-3,06$ en dus de punten $(3,06; 22,15)$ en $(text(-)3,06; text(-)10,15)$ .

Invullen en de waarden van $a$ uitrekenen levert $a~~38,3$ en $a~~text(-)26,3$ .

Opgave 6

$f'_p(x)=2px text(e)^(px^2)=0$ levert $x=0$ .

$p>0$ .

$f'_p(1)=2ptext(e)^p$ . door $(1, text(e)^p)$ .

Dan volgt $y=2ptext(e)^px-text(e)^p$ .

$p~~text(-)0,87 vv p~~0,79$ .

Opgave 7

Maak een schets en je ziet dat de lengte van de rechthoek $x$ is en de breedte $f(x) = sin(x)$ .

$opp'(x)=sin(x)+xcos(x)=0$ oplossen met de GR geeft $x=0 vv x ~~ 2,03 vv x~~4,91$ .

Dit invullen in $opp(x)$ geeft de maximale oppervlakte van $~~ 1,82$ bij $x ~~ 2,03$ .

Opgave 8

Oppervlakteformule is $opp(x) = x*(2-ln(x)$ .

Nu is $opp'(x) = 1 - ln(x) = 0$ als $x = text(e)$ . Je vindt dan een maximum $f(text(e)) = 1$ .

Opgave 9

Maximale lengte van $|AB|=5,59$ .

Opgave 10

$f_p(x)=p*sin^3(x)$ geeft $f'_p(x)=3p*sin^2(x)cos(x)$ . Kettingregel gebruiken.

$f'(1/4pi)=3/4psqrt(2)$ en $f(1/4pi)=1/4psqrt(2)$ .

Je maakt op basis van beide voorwaarden een stelsel van vergelijkingen en deze los je op.

Opgave 11

$text(B)_f =[text(-)1,1]$ .

$f''_p(x)=6p*sin^2(x)cos^3(x)-3p*sin^2(x)cos(x))=0$ geeft $5$ mogelijke waarden van $x$ .

Opgave 12

Doen.

$f'(x) = text(-)1 + 1/(sqrt(x)) = 0$ als $x = 1$ .
$f$ heeft een maximum $f(1) = 4$ .

Verder is er een randminimum $f(0) = 3$ .

$f(x) = 0$ geeft $x = 9$ .

$f'(9)=text(-)2/3$ . Dus $~~33,7°$ .

Oplossen $f(x)=g(x)$ en $f'(x)=g'(x)$ geeft $x=1/3$ en $p = 2+2sqrt(1/3)$ .

Oplossen $f(x)=g(x)$ en $f'(x) * g'(x) =text(-)1$ geeft $x=2$ en $p=2$ .

Opgave 13

Nulpunten $(1,0)$ en $(text(-)2,0)$ .

Extremen: $(text(-)5,text(-)9)$ en $(text(-)1,text(-)1)$ .

$p>2,3$ .

$p=5$ .

Opgave 14

$int_1^(text(e)) pi * (ln(x))^2 text(d)x ~~ 2,26$

$int_0^1 pi * (text(e)^y)^2 text(d)y = [1/2 pi text(e)^(2y)]{:(1),(0):} = 1/2 pi (text(e)^2 - 1)$ .

Opgave 15

$int_(text(-)1)^7 (f(x) - g(x)) text(d)x = int_(text(-)1)^7 (text(-)1,5x^2+9x+10,5) text(d)x = [text(-)0,5x^3+4,5x^2+10,5x] = 128$ .

$int_(text(-)1)^7 sqrt(1+(text(-)2x + 6)^2) text(d)x + int_(text(-)1)^7 sqrt(1+(x-3)^2) text(d)x ~~ 52,22$ .

$P(p, text(-)p^2 + 6p + 5)$ en $Q(p, 0,5p^2 - 3p - 5,5)$ geeft $|PQ| = text(-)1,5p^2 + 9p + 10,5 = L(p)$ .

$L'(p) = text(-)3p + 9 = 0$ geeft $p = 3$ .

In dit geval was ook zo wel te zien dat $p = 3$ moest zijn, want beide parabolen hebben als symmetrieas $x=3$ .

Opgave 16

$f'(x)=3*sin^2(x)cos(x)-cos(x)=0$ en je vindt als bereik $[text(-)0,38; 0,38]$ .

Er zijn $8$ buigpunten.

$3*sin^2(x)cos(x)-cos(x)=0$ en $sin^3(x)+p*sin(x)=0,25$ geeft $p=3/4$ .

Opgave 17

$[3,38;6,4]+k*2pi$ .

$f'(x)=(8cos(x))/(4sin^2(x)+12sin(x)+9)=0$ oplossen geeft extremen bij $x=+-0,5pi +k2pi$ . Je vindt dan $text(-)2$ als minimum en $1,2$ als maximum.

$p=text(-)0,5$ .

Opgave 18

$int_0^p text(e)^(text(-)px) text(d)x = [text(-) 1/p text(e)^(text(-)px)]{:(p),(0):} = text(-) 1/p text(e)^(text(-)p^2) + 1/p = 0,5$ geeft met de GR $p ~~ 1,96 vv p ~~ 0,59$

Opgave 19

Er zijn drie snijpunten: $(0, 0) , (text(-)sqrt(3), text(-)sqrt(3)) , (sqrt(3), sqrt(3))$ .

$4-x^2>0$ dus $text(D)_f = [text(-)2, 2]$ .

Bereik via extreme waarden, dus $f'(x) = 0$ oplossen.
Dit geeft $x=+-sqrt(2)$ en $text(B)_f=[text(-)2, 2]$ .

Oplossen $f(x)=g(x)$ en $f'(x)=g'(x)$ geeft $p=2$ .

Opgave 20

$int_0^(2pi) x + 2 cos(x) text(d)x = [1/2x^2 + 2 sin(x)]{:(2pi),(0):} = 2pi^2$

$int_0^(2pi) sqrt(1+(1 - 2 sin(x))^2) text(d)x ~~ 11,61$

Die afstand is het grootst tussen het eerste snijpunt van de lijn met $f$ als het tweede gemeenschappelijke punt een raakpunt is dat zover mogelijk naar rechts ligt.

$y=px$ raakt de grafiek van $f$ als $f(x) = px ^^ f'(x) = p$ , dus als $x + 2 cos(x) = px ^^ 1 - 2sin(x) = p$ .

Dit geeft $x + 2cos(x) = x - 2sin(x)$ , dus $tan(x) = text(-)1$ . De grootste $x$ -waarde op $[0, 2pi]$ is dan $x = 1 3/4pi$ . Dan is $p = 1 - 2*sin(1 3/4 pi) = 1 + sqrt(2)$ .

verder | terug