Functieonderzoek > Families van functiesVoorbeeld 1
Gegeven is de familie van functies `f_a(x) = 0,1x^5 - 1,5x^3 + a` en `g(x) = 1,6x` .
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel `V` ingesloten door de grafieken van `f_0` en `g` .
Voor welke `a` heeft `f_a` twee toppen die op de grafiek van `g` liggen?
Bekijk eerst de grafieken van `f_0` en `g` . Je ziet dan dat er twee congruente vlakdelen door beide grafieken worden ingesloten. De totale oppervlakte van het ingesloten deel is daarom `2` keer de oppervlakte van (bijvoorbeeld) het rechter deel.
`0,1x^5 - 1,5x^3 = 1,6x`
geeft
`x = 0 vv x^4 - 15x^2 - 16 = (x^2+1)(x^2-16) = 0`
.
Dus
`x = 0 vv x = +-4`
.
De gevraagde oppervlakte is `2 * int_0^4 1,6x - (0,1x^5 - 1,5x^3) text(d)x = 2 * [0,8x^2 - 1/60 x^6 + 3/8 x^4]{:(4),(0):} = 1216/15`
`f'_a(x)=0` geeft `0,5x^4 - 4,5x^2 = 0` dus `x = 0 vv x = +-3` . De toppen zijn `(3; 16,2+a)` en `(text(-)3; text(-)16,2+a)` . (Het punt `(0, a)` is een buigpunt.) De juiste waarden van `a` vind je door invullen in `g(x)` .
Bekijk
Bereken zelf met behulp van primitiveren de gevraagde oppervlakte.
Laat zien hoe de coördinaten van de toppen op de kromme worden berekend. Bereken zelf de waarden van `a` waarvoor die toppen op de grafiek van `g` liggen.
Voor welke waarde van `a` is de raaklijn aan `f_a` evenwijdig aan de grafiek van `g` ?
Gegeven is de functie `f_p(x) = text(e)^(px^2)` met `p != 0` .
Bewijs dat elke functie `f_p` precies één extreme waarde heeft.
Voor welke `p` heeft `f_p` precies twee buigpunten?
Bereken op algebraïsche wijze de vergelijking van de raaklijn aan `f_p` in het punt met `x` -coördinaat `1` .
Deze raaklijn gaat door het punt `P(1, 1/(text(e)))` . Bereken `p` .